Algèbre- Exercices sur les applications

[Yozamu]

Bonjour à tous.

J'ai pas mal d'exos d'algèbre à faire pour Lundi..
L'algèbre et moi on est pas trop copain, du coup j'arrive même pas à faire une seule question d'un des 7 exos...

J'aimerais bien de l'aide pour me lancer, avec des réponses pour les premieres questions, accompagnées d'explications si possible...
Parce que je comprends vraiment pas le concept, en algèbre je comprends meme pas le but des questions, je sais pas comment on est censé y repondre, meme sans parler de formules..

Exo1:
Soit l'application f(de R dans R) x->(x+2)²-3
1) Donner la représentation graphique de f et justifier que f n'est ni injective ni surjective
(a priori je connais les deux définitions meme si je ne sais pas comment les utiliser ici... Injective=1 antécédent au maximum et surjective=au moins 1 antécédent je crois?)
2)A partir de la représentation graphique, décrire les ensembles suivants (c'est là surtout que je vois vraiment pas ce qui est attendu):
f([-1,0]) f(]-3,0]) f^-1({1]) f^-1({-4}) f^-1([-2,0[)
(pour cette question, j'aimerais bien l'aide sur un intervalle et sur un singleton, ensuite je suppose que pour les autres la meme methode sera attendu, donc je pourrai essayer)
3) Définir deux parties A et B de R, aussi grandes que possibles(au sens de l'inclusion) afin que l'application f|A: A->B soit bijective (dans le f|A, |A est en indice, je sais meme pas ce que c'est)

Exo2:
Soit une application f:E->F où E={1,2,3} et F={a,b,c}
1) Définir f de telle sorte que f(f^-1(B))=/B (différent de)
2) Définir et représneter graphiquement g de telle sorte que f^-1(f({1,2}))=/{1,2}

Exo3:
Soit une application f:E->F et B, une partie de F. Montrer que f(f^-1(B))=f(E)nB (inter)

Voilà bon ensuite il y a 4 autres exos mais je vais pas tous les écrire non plus, je prefere essayer de comprendre les premiers exos, apres peut etre que je comprendrai un peu mieux et que j'arriverai a faire le reste seul.

Merci d'avance

[homeya]

Bonjour,

J’ai tracé la fonction x->(x+2)²-3 sur lovemaths.fr et ai obtenu une parabole (logique). Saurais-tu donner à partir de ce graphe des contre-exemples à l’injectivité et la surjectivité ?

Cordialement.

[Yozamu]

Bonjour homeya.

J'ai effectivement vu la courbe aussi, mais je me pose donc une question:

Pour l'injectivité, est ce que cela sous entend que pour une valeur de y (donc f(x)) il y a 0 ou 1 antécédent (donc valeur de x)?
Et pour la surjectivité, cela voudrait dire que pour une valeur de y(ou f(x)), il y a au moins 1 antécédent ou plusieurs?

Si c'est le cas, on peut dire que la courbe n'est pas injective au niveau de quasiment toute la courbe, et pour le contre exemple de la surjectivité, on a par exemple le sommet de la courbe qui n'a qu'un antécédent?

[homeya]

Oui, par exemple l’image "1" a deux antécédents (c’est en fait le cas de toutes les images strictement supérieurs à "-3", d’après le tableau de variations), donc l’application ne peut être injective.

Inversement, "-4" n’a pas d’antécédent. Elle ne peut donc être surjective (le sommet de la courbe n'est pas un bon exemple, car il faut 0 antécédent pour constituer un contre-exemple).

Toujours à partir de la courbe, comment peut-on trouver f([-1,0]), c'est-à-dire l’image de l’intervalle [-1,0], image qui sera elle-même un intervalle ?

[low geek]

Mon "collègue" à bien résumé pour la première..
Pour la deuxième tu dois pbserver sur quel intervale se trouve f(x) lorsque x appartient aux intervalles donnés ;)

[Yozamu]

Ah oui, donc en fait pour que la fonction soit surjective, il faut impérativement que l'ensemble de ses images s'étende sur R c'est ça? Sinon on aura toujours un contre exemple!

Et puis pour la deuxieme, a premiere vue, j'aurais dit qu'on fait l'image de la fonction pour chaque borne non?
Par contre si c'est [-1;0] et que mon raisonnement est juste, alors la methode est differente pour ]-1;0] non ? (ou ]-1;0[)

[low geek]

ba en fait c'est vrai ici que c'est l'intervale de l'image des bornes parcequ'elle est continue et strictement monotone sur les intervales demandé (par éxemple si ont t'avais demandé sur [-2;2] sans tracer la courbe tu n'aurai rien pu faire puisque elle aurait pu passer par n'importe quel point dans l'intervale je sais pas si je me suis fait compris? x)).
après la différence entre [-1;0] et ]-1;0] est que l'image sera [f(-1);f(0)] et ]f(-1);0].


Pour la surjectivité oui car ici on a une application de R dans R donc il faut que f(x) "balaye" toutes les valeurs dans R pour que ce soit surjectif
Tu peux dire qu'ici f(x)=-5 n'a pas de solutions donc c'est pas surjectif.
Si tu as d'autres questions n'hésite pas ;)

[Yozamu]

Ah merci !
J'ai réussi à tout comprendre :)
Je vais essayer les exos ce soir ou plutot demain je pense, et je reviendrai surement demain poster un sujet:
soit parce que je vais rencontrer d'autres problemes dans cet exo, ou alors dans un des suivants qui m'ont l'air encore pires!
(comme un de ceux que j'ai posté.. bah ouai en fait le 2eme et le 3 eme quoi..)