Nombres complexes

[zeffe]

Bonjour, je bloque sur cet exercice :
"On se donne, dans le plan complexe, la foncton f qui à tout point M d'affixe z = x + iy associe le point M' d'affixe z' = iz.
1) On se donne les points E, F et G d'affixes respectives 1 + 2i; 1 + i et 2 - i; rechercher les images de ces points par la fonction f. Placer les six points dans le plan complexe.
2) Rechercher les points M(z) tels que f(M) = M, c'est à dire dans les points invariants par f.
3) Justifier que pour tout point M, le triangle OMM' est rectangle isocèle en O (O est l'origine du repère).
4) Soit A le point d'affixe i; rechercher et tracer l'ensemble e des points M tels que A, M et M' soient alignés.
5) Rechercher et tracer l'ensemble f des points M tels que AMM' soit un triangle rectangle en A."

Voilà ce que j'ai fais pour l'instant :

1) E' a pour affixe zE' = i(1+2i) = i+2i² = i - 2 = -2 + i.
F' a pour affixe zF' = i(1+i) = i + i² = i - 1 = -1 + i.
G' a pour affixe zG' = i(2-i) = 2i - i² = 2i + 1 = 1 + 2i.

Là aucun problème.

2) Il s'agit de résoudre z = z' :

z = z'
z = iz
z = i(x+iy)
x+iy = i(x+iy)
i(x+iy)-x-iy = 0
ix+i²y-x-iy = 0
ix-y-x-iy = 0
-x-y+i(x-y) = 0
...

C'est l'égalité de départ (z=iz) qui me pose problème, j'imagine que je devrais trouver à la fin une équation de droites ou de cercle etc... mais j'ai besoin d'un petit coup de pouce pour résoudre ceci.

Merci d'avance !

[maths0]

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[raph107]

Bonjour, je bloque sur cet exercice :
"On se donne, dans le plan complexe, la foncton f qui à tout point M d'affixe z = x + iy associe le point M' d'affixe z' = iz.
1) On se donne les points E, F et G d'affixes respectives 1 + 2i; 1 + i et 2 - i; rechercher les images de ces points par la fonction f. Placer les six points dans le plan complexe.
2) Rechercher les points M(z) tels que f(M) = M, c'est à dire dans les points invariants par f.
3) Justifier que pour tout point M, le triangle OMM' est rectangle isocèle en O (O est l'origine du repère).
4) Soit A le point d'affixe i; rechercher et tracer l'ensemble e des points M tels que A, M et M' soient alignés.
5) Rechercher et tracer l'ensemble f des points M tels que AMM' soit un triangle rectangle en A."

Voilà ce que j'ai fais pour l'instant :

1) E' a pour affixe zE' = i(1+2i) = i+2i² = i - 2 = -2 + i.
F' a pour affixe zF' = i(1+i) = i + i² = i - 1 = -1 + i.
G' a pour affixe zG' = i(2-i) = 2i - i² = 2i + 1 = 1 + 2i.

Là aucun problème.

2) Il s'agit de résoudre z = z' :

z = z'
z = iz
z = i(x+iy)
x+iy = i(x+iy)
i(x+iy)-x-iy = 0
ix+i²y-x-iy = 0
ix-y-x-iy = 0
-x-y+i(x-y) = 0
...

C'est l'égalité de départ (z=iz) qui me pose problème, j'imagine que je devrais trouver à la fin une équation de droites ou de cercle etc... mais j'ai besoin d'un petit coup de pouce pour résoudre ceci.

Merci d'avance !

Tu t'es compliqué la vie!
C'est tout simple: z = iz équivalent à z(1-i) = 0. Puisque 1-i est non nul, z =0
L'ensemble des points est réduit au seul point d'affixe 0, à savoir l'origine.

[zeffe]

maths0 : Je n'ai pas vraiment compris votre méthode, puisqu'il n'y a pas de x' et y' (iz n'est pas censé être égal à i(x + iy) et non i(x' + iy') ?)

raph107 : Ah c'était donc tout bête :we: Donc les points invariants par f se trouvent sur l'axe des abscisses c'est ça ?

[raph107]

maths0 : Je n'ai pas vraiment compris votre méthode, puisqu'il n'y a pas de x' et y' (iz n'est pas censé être égal à i(x + iy) et non i(x' + iy') ?)

raph107 : Ah c'était donc tout bête :we: Donc les points invariants par f se trouvent sur l'axe des abscisses c'est ça ?

Tu connais combien de points dans le plan qui ont pour affixe le nombre 0 ?
Il n'y a qu'un seul c'est l'origine du repère.

[zeffe]

Oui mince, il s'agit donc du point O donné lors de la question suivante.
J'ai tenté de faire la question 3) :

Il s'agit de calculer zOM(vecteur), zOM' et zMM', montrer que zOM et zOM' sont égaux puis d'utiliser le théorème de pythagore.
On a zM = x+iy
zO = 0
zM' = i(x+iy)

zOM = zM - zO = x + iy
zOM' = zM' - zO = i(x+iy) = -y + ix
zMM' = zM' - zM = i(x+iy) - (x+iy) = ix - y - x - iy = - y - x + i(x-y)

Il y'a quelquechose qui cloche vu que zOM n'est pas égal à zOM' ? Ou il me manque une explication pour prouver que le triangle est bien isocèle en O ? J'ai représenté en prenant comme example x = 1 et y = 2, ce qui ferait zOM = 1+2i et zOM' = -2+i et j'ai constaté que c'était le cas :hum:


edit : Je voulais juste préciser que je n'ai pas encore abordé les modules/arguments bien que je sache qu'on peut résoudre la question 3) en utilisant cette notion.

[raph107]

Oui mince, il s'agit donc du point O donné lors de la question suivante.
J'ai tenté de faire la question 3) :

Il s'agit de calculer zOM(vecteur), zOM' et zMM', montrer que zOM et zOM' sont égaux puis d'utiliser le théorème de pythagore.
On a zM = x+iy
zO = 0
zM' = i(x+iy)

zOM = zM - zO = x + iy
zOM' = zM' - zO = i(x+iy) = -y + ix
zMM' = zM' - zM = i(x+iy) - (x+iy) = ix - y - x - iy = - y - x + i(x-y)

Il y'a quelquechose qui cloche vu que zOM n'est pas égal à zOM' ? Ou il me manque une explication pour prouver que le triangle est bien isocèle en O ? J'ai représenté en prenant comme example x = 1 et y = 2, ce qui ferait zOM = 1+2i et zOM' = -2+i et j'ai constaté que c'était le cas :hum:


edit : Je voulais juste préciser que je n'ai pas encore abordé les modules/arguments bien que je sache qu'on peut résoudre la question 3) en utilisant cette notion.

Tu confonds module et affixe. Deux nbs complexes peuvent avoir le même module sans qu'ils soient égaux.
Tu as trouvé:
zOM = zM - zO = x + iy
zOM' = zM' - zO = i(x+iy) = -y + ix

Pour montrer que les longueurs OM et OM' sont égales, on montre que |zOM| = |zOM'|
Donc il te reste à calculer |zOM| et |zOM'| et de conclure.
Pour cette question encore, il y a plus simple:
OM = |z|
OM' = |iz| = |i|*|z| = ...... donc OM = OM'

[zeffe]

Le problème est que nous n'avons pas encore traité cette partie module/argument du chapitre nombre complèxe (notre prof est passé à d'autres chapitres tout en disant que celui-ci serait terminé plus tard :hum: ) donc je ne sais pas comment calculer ce que vous me demandez. Est-ce qu'il y'aurait une autre méthode ?

[maths0]

Dans cette première partie de cours tu as du voir la norme d'un vecteur ....

[raph107]

Il y a la méthode que tu as commencée:
zOM = zM - zO = x + iy
zOM' = zM' - zO = i(x+iy) = -y + ix

|zOM| = racine carrée de x² + y²
|zOM'| = racine carrée de (-y)² + x² = racine carrée de y² + x²

donc OM = OM'

[zeffe]

On a ni vu ni utilisé la norme d'un vecteur pour ce chapitre mais c'est un acquis de première donc j'ai aucune excuse... merci pour le rappel ! :id:

Ensuite : |zMM'| = racine carré de (-y)² + (-x)² + x² + (-y)² = raciné carré de 2x² + 2y² = MM'

On démontre que MM'² = OM² + OM'²

OM² + OM'² = x² + y² + x² + y²
OM² + OM'² = 2x² + 2y²
OM² + OM'² = MM'²
OM + OM' = MM'

Ainsi le triangle OMM' est resctangle isocèle en O

Est-ce que c'est correct ?

[raph107]

On a ni vu ni utilisé la norme d'un vecteur pour ce chapitre mais c'est un acquis de première donc j'ai aucune excuse... merci pour le rappel ! :id:

Ensuite : |zMM'| = racine carré de (-y)² + (-x)² + x² + (-y)² = raciné carré de 2x² + 2y² = MM'

On démontre que MM'² = OM² + OM'²

OM² + OM'² = x² + y² + x² + y²
OM² + OM'² = 2x² + 2y²
OM² + OM'² = MM'²
OM + OM' = MM'

Ainsi le triangle OMM' est resctangle isocèle en O

Est-ce que c'est correct ?

Le raisonnement est correct mais tu as fait une erreur dans le calcul de |zMM'|
zMM' = - y - x + i(x-y) donc |zMM'| = racine carrée de (-x-y)² + (x-y)²
Par chance on trouve le même résultat car (-x-y)² + (x-y)² = 2(x² + y²)

[zeffe]

J'ai pu finir l'exercice grâce à vous, encore merci !