Continuité

[imalefette]

Bonjour je suis la maman d une élève en prepa ecs1 qui est un peu débordée et prete a craquer je suis moi même prof de math au collège et je voudrais l aider mais je suis un peu dépassée . Je vous explique mon nouveau pb
soit la fonction f définie sur R+* par f(t)= sin(t)/(t+t^2)
1 a, montrer que f est continue sur R+*
b) montrer que la fonction peut etre prolongée par une fonction continue sur R+

on désignera cette fonction par g et on précisera g(0)

2 soit la fonction u définie sur R+ par u(t) = g(t)cos(t)

a) justifier que u est bornée sur [0;1], atteint elle ses bornes?
b) justifier que u est bornée sur R+


je bloque sur la question 2a et 2b, merci beaucoup pour votre aide

[Anneauprincipal]

Bonsoir,
Pour le a,
étant continue, l'est aussi. Que peut on dire d'une fonction continue sur [0,1] (ou sur [a,b] plus généralement) ?
Et ensuite, que peut on dire de la limite en de ? Donc de ? Donc de ?

[Anonyme]

b) montrer que la fonction peut etre prolongée par une fonction continue sur R+

on désignera cette fonction par g et on précisera g(0)

Voici de l'aide pour l'exo 1 :

1) on peut avec une calculatrice tracer la fonction sur IR* : [url]http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+f%28t%29%3Dsin%28t%29%2F%28t%2Bt^2%29[/url]

2) comme la fonction f n'est pas définie en 0
on peut utiliser un DL en 0 : sin(t) = t +o(t^2) pour calculer la limite de la fonction f quand x tend vers 0+

ET on a lim f(t)= 0 quand t tend vers 0

3) comme la fonction f est un quotient de 2 fonctions définies et continues sur IR*
elle est continue sur IR*
et en posant f(0)=0 : on peut la prolonger par continuité sur IR

[imalefette]

merci je trouve que toute fonction continue sur un intervalle fermé borné est bornée et atteint ses bornes et que lim u en +inf est 0 mais comme puis je en déduire que U est bornée? merci beaucoup

[adrien69]

merci je trouve que toute fonction continue sur un intervalle fermé borné est bornée et atteint ses bornes et que lim u en +inf est 0 mais comme puis je en déduire que U est bornée? merci beaucoup

Il faut quantifier la limite. Après c'est très visible.

[imalefette]

bornée sur R+ pardon

[imalefette]

je ne comprends pas ce que veut dire quantifier la limite, désolée , en +inf la limite est 0, sur le graph c est clair mais je ne sais pas le démontrer, merci pour votre aide

[adrien69]

je ne comprends pas ce que veut dire quantifier la limite, désolée , en +inf la limite est 0, sur le graph c est clair mais je ne sais pas le démontrer, merci pour votre aide

Eh bien il faut utiliser les quantificateurs pour décrire la limite. On sait que la fonction tend vers 0 à l'infini puisque le théorème des croissances comparées nous l'assure.

Ensuite on le dit sous forme quantifiée :


En particulier, pour u est majorée par 1 et minorée par -1 sur

Comme [1,A] est un segment, on a alors aussi u est bornée sur [1,A], on peut dès lors conclure en "recollant" les intervalles.

[imalefette]

ah ok merci beaucoup

[Anonyme]

ah ok merci beaucoup

Pas de quoi

ps)
Je me présente : Je suis "ptitnoir" et "adrien69" est dans mon équipe sur Maths-Forum et travaille pour moi
Donc je suis son CHEF ( ou son papa : cela dépend des moments... )

Nous acceptons vos remerciements et de la part de toute NOTRE équipe :
nous vous souhaitons , ainsi qu'à tous vos proches, une bonne année 2013


et également une bonne santé

Hips !

[adrien69]

Rire de circonstance pour la blague de ptitnoir :happy2:

[imalefette]

tres bonne année avous aussi :ptdr:

[imalefette]

rebonjour,

comment demontrer que toute fonction continue sur un intervalle borné et borné et atteind ses bornes, ma fille n'a pas cette propriéte dans son cours, merci pour votre aide si précieuse

[chan79]

Bonjour je suis la maman d une élève en prepa ecs1 qui est un peu débordée et prete a craquer je suis moi même prof de math au collège et je voudrais l aider mais je suis un peu dépassée . Je vous explique mon nouveau pb
soit la fonction f définie sur R+* par f(t)= sin(t)/(t+t^2)
1 a, montrer que f est continue sur R+*
b) montrer que la fonction peut etre prolongée par une fonction continue sur R+

on désignera cette fonction par g et on précisera g(0)

2 soit la fonction u définie sur R+ par u(t) = g(t)cos(t)

a) justifier que u est bornée sur [0;1], atteint elle ses bornes?
b) justifier que u est bornée sur R+


je bloque sur la question 2a et 2b, merci beaucoup pour votre aide

salut



la limite en 0 est 1

[adrien69]

rebonjour,

comment demontrer que toute fonction continue sur un intervalle borné et borné et atteind ses bornes, ma fille n'a pas cette propriéte dans son cours, merci pour votre aide si précieuse

Hello hello,

On considère un segment [a,b] avec a>0 b>a et une fonction f continue sur ce segment (par composition par une translation et une homothétie ça marchera pour tout segment). Le théorème de Heine assure alors son uniforme continuité sur ce segment. On quantifie :


Pour , on prend un qui correspond. Comme est archimédien (c'est un gros mot mais c'est intuitif), pour tout x dans [a,b], x différent de a, il existe tel que
.

On en déduit
Par inégalité triangulaire et parce que l'on a l'uniforme continuité et le fait que pour tout k,


Or on avait
Donc

donc f est bornée sur [a,b]

Pour le fait que ça atteigne les bornes, c'est une simple application de la caractérisation séquentielle de la continuité aux bornes sup et inf (qui peuvent être approchées par et [TEX]f(y_n)[\TEX]

Voilà.

ps : ça me semble vraiment bizarre que le prof ait posé une question pareille sans que ce théorème soit vu en classe. Dites à votre fille de fouiller dans son cours.

psbis : je ne sais pas si ma démonstration est celle qui est la plus souvent faite, mais je l'aime bien