Suite

par **Maxime.Coiscaud** » 02 Jan 2013, 15:21

[CENTER]Bonjour à tous,[/CENTER]
Je vous écris par rapport à un exercice sur les suites, l'énoncé est le suivant :

Soient An et B0 deux réels fixés. On definit par récurrence les suites (An) et (Bn) par An+1=(2An+Bn)/3 et Bn+1=(An+2Bn)/3

La question étant de montrer que ces deux suites sont adjacentes.

Il faut donc monter que l'une est croissante et l'autre décroissante et que la soustraction de l'une par l'autre converge vers 0.

J'ai essayé An+1 - An, An+1/An, mais ca me donne en rien qu'elle est croissante ou décroissante ...
Et de même pour (Bn),

Un petit coup de pouce serai donc le bien venu !

[CENTER]Cordialement,[/CENTER] [CENTER]Maxime.[/CENTER]

par **arnaud32** » 02 Jan 2013, 15:39

premiere chose peux tu donner le signe de An-Bn en fonction de celui de A0-B0?

par **Maxime.Coiscaud** » 02 Jan 2013, 15:52

arnaud32 a écrit:premiere chose peux tu donner le signe de An-Bn en fonction de celui de A0-B0?

Est ce qu'il n'y aurai pas plusieurs cas ?,

Sinon, je ne sais pas faire.

par **Maxime.Coiscaud** » 02 Jan 2013, 15:56

Si A0-B0>0 ==> An-Bn >0 ?,

Est-ce dans la bonne voix ?

par **arnaud32** » 02 Jan 2013, 16:00

oui tu as montre par recurence facilement que an-bn est toujours du meme signe
tu peux meme caracteriser la suite cn=an-bn.
apres, que trouves tu pour a(n+1)-a(n)? b(n+1)-b(n)?

par **Maxime.Coiscaud** » 02 Jan 2013, 16:15

Il faut donc faire une récurrence pour monter que An - Bn est toujours du même signe ?
A(n+1)-A(n) = 9*A(n-1) + 7*B(n-1)?
B(n+1)-B(n)=12*A(n-1)+16*B(n-1)?

Je te remercie de m'aider , et surtout d'accepter mon niveau ^^ .

par **arnaud32** » 02 Jan 2013, 16:24

c'est une suite geometrique ...
par ailleurs

par **Maxime.Coiscaud** » 02 Jan 2013, 16:29

D'accord, mon souci est désormais que je ne comprends pas comment vous trouvez
A(n+1)-A(n)=(Bn-An)/3
B(n+1)_B(n)=(An_Bn)/3

par **arnaud32** » 02 Jan 2013, 16:33

par **Maxime.Coiscaud** » 02 Jan 2013, 16:50

J'ai compris, merci bien.
Et avec ceci on peut montrer que ces 2 suites sont adjacentes ?

par **arnaud32** » 02 Jan 2013, 17:23

arnaud32 a écrit:
c'est une suite geometrique ...
par ailleurs

tu peux en dedire que les suites sont monotones et de monotonie inverse avec une difference qui tend vers 0

par **Maxime.Coiscaud** » 04 Jan 2013, 11:22

D'accord, et désormais il y a 2 cas :
Si An>Bn alors (Bn) croissante et (An) décroissante;
Si Bn>An alors (An) croissante et (Bn) décroissante ;

Est ce que celà suffi ?

par **arnaud32** » 04 Jan 2013, 11:40

de

tu deduis

ce qui prouve que la difference tend vers 0 et est toujours de meme signe

tu deduis de

que les suites sont monotones et de variations inverses

par **Maxime.Coiscaud** » 04 Jan 2013, 14:59

Reprennons à 0 :
A(n+1) - A(n) = (Bn-An)/3 (1)
B(n+1) - B(n) = (An-Bn)/3

De (1) on en déduit que c'est une suite géométrique de raison 1/3, on a donc :
An-Bn= (1/3)^n (A0-B0)

On passe à la Limite : Lim An-Bn= 0 Car quand n tend vers l'inf (1/3)^n tend vers 0.
Mais je comprends pas pourquoi c'est toujours du même, car tout dépend de A0 et B0 non ??

B(n+1)-(Bn)=(An-Bn)/3=-(An+1-An)=An+(1/3)^n (A0-B0).
Elles sont donc monotes car le suites sont égales à (1/3)^n (A0-B0) et e variatiosn inverses car B(n+1)-(Bn)=-(An+1-An)

Est ce que celà ressemble a un raisonnement a peu près correct ?

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