Bonjour !
Je suis étudiant en L1 de mathématique/informatique à l'université Henry Poincaré de Nancy. Dans le cadre de mon cour de méthodologie de l'exposé je dois présenter un compte rendu sur ce sujet : "Bijections et dénombrabilité". Après avoir démontré le théorème de Cantor - Bernstein, j'ai à proposer une démonstration de cette affirmation : "Soit f*: E ;) F une surjection et g*: F ;) E une surjection. Montrons qu'il existe alors une bijection de E sur F.". Je ne sais pas par quoi commencer et comment "dérouler" mon argumentation.
De plus j'aimerai savoir si certains d'entre vous auriez des sujets intéressant dont je pourrais parler (concernant " Bijections et dénombrabilité" bien sur.), des livres ou des extraits s'en relatant !
En vous remerciant par avance pour la réponse que vous pourriez me donner, je vous souhaites une bonne soirée :) .
Surjection et Bijection
4 messages
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par Nightmare » 14 Nov 2012, 00:30
Salut,
c'est peut être délicat de parler de Cantor-Bernstein avec des surjections à la place des injections, car à mon avis on ne peut pas se passer de l'axiome du choix, qui est peut être un peu difficile à appréhender à ce niveau.
En tout cas avec l'axiome du choix ton affirmation est vraie et on peut la prouver en se ramenant justement à Cantor-Bernstein en montrant au préalable que l'existence d'une surjection de A dans B est équivalent à l'existence d'une injection de B dans A.
Concernant le sujet bijection et dénombrabilité, il peut être intéressant de parler de la notion de cardinal et pourquoi pas dénombrer certains ensembles (par exemple le nombre de surjection d'un ensemble fini dans un autre, mais ça peut être long). Etablir la dénombrabilité de certains ensembles classiques et la non-dénombrabilité d'autres.
Dans un autre registre, on peut aborder des sujets un peu plus épistémologiques et se demander ce que représente concrètement cette notion de bijection entre deux ensembles. Est-ce que deux ensembles en bijections sont "identiques"? Est-ce qu'ils sont aussi gros? Mais que penser des intervalles [0;1] et [0;5] qui sont en bijection alors que [0;5] semble plus gros que [0;1]? Comment peut-on être en bijection avec une partie que l'on contient?
Il y a beaucoup de choses à dire, je n'ai pas de références particulière en tête mais une recherche sur internet te fournira surement beaucoup de thèmes à aborder.
c'est peut être délicat de parler de Cantor-Bernstein avec des surjections à la place des injections, car à mon avis on ne peut pas se passer de l'axiome du choix, qui est peut être un peu difficile à appréhender à ce niveau.
En tout cas avec l'axiome du choix ton affirmation est vraie et on peut la prouver en se ramenant justement à Cantor-Bernstein en montrant au préalable que l'existence d'une surjection de A dans B est équivalent à l'existence d'une injection de B dans A.
Concernant le sujet bijection et dénombrabilité, il peut être intéressant de parler de la notion de cardinal et pourquoi pas dénombrer certains ensembles (par exemple le nombre de surjection d'un ensemble fini dans un autre, mais ça peut être long). Etablir la dénombrabilité de certains ensembles classiques et la non-dénombrabilité d'autres.
Dans un autre registre, on peut aborder des sujets un peu plus épistémologiques et se demander ce que représente concrètement cette notion de bijection entre deux ensembles. Est-ce que deux ensembles en bijections sont "identiques"? Est-ce qu'ils sont aussi gros? Mais que penser des intervalles [0;1] et [0;5] qui sont en bijection alors que [0;5] semble plus gros que [0;1]? Comment peut-on être en bijection avec une partie que l'on contient?
Il y a beaucoup de choses à dire, je n'ai pas de références particulière en tête mais une recherche sur internet te fournira surement beaucoup de thèmes à aborder.
par Chppr » 15 Nov 2012, 09:56
Merci de ta réponse Nightmare! Et merci aussi pour les autres exemples et sujets que tu m'as donné !
Concernant l'axiome du choix, j'ai trouvé cette définition dans la "surjection" :
" Soit f une application de X dans Y. S'il existe une application g de Y dans X telle que la fonction composée f o g soit égale à l'application identité sur Y, alors f est surjective (d'après une propriété vue plus haut).
Une telle application g peut être considérée comme une réciproque partielle de f. Elle est nécessairement injective.
Réciproquement, si f est surjective alors elle admet une réciproque partielle (au sens précédent). Cette propriété s'appuie sur le fait que l'on peut toujours remonter les flèches de Y vers X . Elle est toujours vraie si Y est fini. L'affirmation qu'elle est vraie pour tout ensemble Y est équivalent à l'axiome du choix."
J'ai vraiment beaucoup de mal à la comprendre :/ surtout la notion d'identité qui reste pour moi difficile !
Concernant l'axiome du choix, j'ai trouvé cette définition dans la "surjection" :
" Soit f une application de X dans Y. S'il existe une application g de Y dans X telle que la fonction composée f o g soit égale à l'application identité sur Y, alors f est surjective (d'après une propriété vue plus haut).
Une telle application g peut être considérée comme une réciproque partielle de f. Elle est nécessairement injective.
Réciproquement, si f est surjective alors elle admet une réciproque partielle (au sens précédent). Cette propriété s'appuie sur le fait que l'on peut toujours remonter les flèches de Y vers X . Elle est toujours vraie si Y est fini. L'affirmation qu'elle est vraie pour tout ensemble Y est équivalent à l'axiome du choix."
J'ai vraiment beaucoup de mal à la comprendre :/ surtout la notion d'identité qui reste pour moi difficile !
par Nightmare » 15 Nov 2012, 15:10
Hello,
l'application identité, c'est la plus "simple" sur un ensemble : Celle qui à x associe x.
Dire que deux fonctions sont réciproques, c'est dire qu'elles sont inverses l'une de l'autre pour la loi de composition. Autrement dit : f et g sont réciproques lorsque fog=gof=Id, ou encore en terme ponctuel : fog(x)=gof(x)=x pour tout x.
Par exemple, la fonction racine carrée et la fonction carrée sont réciproques (sur [0;+oo[) car^{2}=x)
).
De même, l'opération inverse de "rajouter 1", c'est "enlever 1" : La fonction réciproque de x->x+1 est x->x-1.
On montre facilement que l'existence d'une réciproque est soumise à la bijectivité de l'application. C'est un bon exercice que je t'invite à faire
Précisément, montrer que si f est bijective elle admet une réciproque et vice versa.
l'application identité, c'est la plus "simple" sur un ensemble : Celle qui à x associe x.
Dire que deux fonctions sont réciproques, c'est dire qu'elles sont inverses l'une de l'autre pour la loi de composition. Autrement dit : f et g sont réciproques lorsque fog=gof=Id, ou encore en terme ponctuel : fog(x)=gof(x)=x pour tout x.
Par exemple, la fonction racine carrée et la fonction carrée sont réciproques (sur [0;+oo[) car
De même, l'opération inverse de "rajouter 1", c'est "enlever 1" : La fonction réciproque de x->x+1 est x->x-1.
On montre facilement que l'existence d'une réciproque est soumise à la bijectivité de l'application. C'est un bon exercice que je t'invite à faire
Précisément, montrer que si f est bijective elle admet une réciproque et vice versa.
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