DM nombres complexes

[tomhippo]

Bonjour,

j'ai un DM à faire sur les complexes et je bloque sur une question :

On considère P(z)=z^3-(6+i)z²+(13+6i)z-13i
1) Montrer que i est solution de l'équation P(z)=0
2) Déterminez deux réels a et b tels que pour tout nombre complexe z, p(z)=(z-i)(z²+az+b)
3) Résoudre dans C l'équation P(z)=0

Voilà. Le 1), j'ai réussi en remplaçant z par i, je trouve bien 0. Mais je bloque sur la 2eme question, je n'arrive pas à trouver a et b... J'ai essayé de développer (z-i)(z²+az+b), de faire une équation z^3-(6+i)z²+(13+6i)z-13i = (z-i)(z²+az+b) , ... Je n'arrive à rien... :mur:

Et pour la 3), peut être faut-il la 2) pour y répondre... Je m'attendais à un polynôme de degrès 2 mais je n'en ai pas trouvé...

Un peu d'aide svp... ! :we:

Bye !

[titine]

Bonjour,

j'ai un DM à faire sur les complexes et je bloque sur une question :

On considère P(z)=z^3-(6+i)z²+(13+6i)z-13i
1) Montrer que i est solution de l'équation P(z)=0
2) Déterminez deux réels a et b tels que pour tout nombre complexe z, p(z)=(z-i)(z²+az+b)
3) Résoudre dans C l'équation P(z)=0

Voilà. Le 1), j'ai réussi en remplaçant z par i, je trouve bien 0. Mais je bloque sur la 2eme question, je n'arrive pas à trouver a et b... J'ai essayé de développer (z-i)(z²+az+b), de faire une équation z^3-(6+i)z²+(13+6i)z-13i = (z-i)(z²+az+b) , ... Je n'arrive à rien... :mur:

La méthode semble correcte.
Écris nous ce que tu obtiens.

[tomhippo]

La méthode semble correcte.
Écris nous ce que tu obtiens.

Alors en développant (z-i)(z²+az+b) j'ai :
= z^3+az²+bz-iz²-aiz-bi
=z^3+z²(a-i)+z(b-ai)-bi

Et avec l'équation :
z^3-(6+i)z²+(13+6i)z-13i = (z-i)(z²+az+b)
z^3-z²(6+i)+z(13+6i)-13i-z^3-z²(a-i)-z(b-ai)+bi=0
z²(-6-i-a+i)+z(13+6i-b+ai)+i(-13+b)=0
z²(-6-a)+z(13-b+i(6+a))+i(-13+b)=0
...

Et maintenant ? ...

[tomhippo]

Comment trouver a et b svp ?

[titine]

z^3-(6+i)z²+(13+6i)z-13i = (z-i)(z²+az+b)

Et

(z-i)(z²+az+b) = z^3+z²(a-i)+z(b-ai)-bi

Donc
z^3-(6+i)z²+(13+6i)z-13i = z^3+z²(a-i)+z(b-ai)-bi
On identifie les coefficients :
6+i = a-i
13+6i = b-ai
-13i = -bi
.................

[tomhippo]

Ah oui par analogie... Je n'aurais pas du développer !
J'ai trouvé a=-6 et b =13.

Et pour P(z)=0, comment faire ? Car il y a un z^3, donc je n'arrive pas à faire un polynome de degrès 2...

[ramazan.ozturk]

1)Calculer limage de g(-2) par g(x)=x²+4x-3
2)Calculer limage de g(1-racine carré2) par g(x)=x²+4x-3

[tomhippo]

Quelle est ce message ramazan.ozturk ? :hum:

Moi je cherche toujours une méthode pour P(z)= 0

[titine]

P(z)=z^3-(6+i)z²+(13+6i)z-13i = (z-i)(z²+az+b) (avec a et b que tu as trouvé) = 0
Donc z-i = 0 ou z²+az+b = 0
Tu sais résoudre ces 2 équations

[tomhippo]

Merci beaucoup ! Je n'avais pas vu ce " un produit et nul si et seulement si un des produit est nul".

Allez, à mes calculs !

Merci à bientôt !

[Turk-Kizi]

Moi je vais t'aider tu va dans ton cahier de cour ou tu demande a moi "askina" :lol3: