Valeur de a : Trinôme

[Laura75005]

Bonjour,
J'ai commencé à faire mon exercice, mais maintenant je ne sais plus quoi faire.. :

P est un trinôme défini par : P(x) = 3x² + (a-1)x + (a+8) où a est un réel.
Pour quelle(s) valeur(s) de a le trinôme admet-il une racine double ? Justifier.

Donc je pense qu'il faut résoudre l'inéquation : 3x² + (a-1)x + (a+8) > 0
J'ai ensuite développé : 3x² + ax -1x + a + 8 > 0

Et là je ne sais plus comment faire, pouvez vous m'aider s'il vous plait ?

[annick]

Bonjour,
je suppose que tu as vu la résolution des équations du second degré.
Que te dit la théorie de la résolution de l'équation de la forme
ax²+bx+c=0 ?
Que dois-tu d'abord calculer ?
Dans quel cas auras-tu deux solutions ?

[Laura75005]

Oui, je pense que je dois calculer delta, mais je ne sais pas comment faire pour avoir la forme ax² + bx + c dans cette inéquation ..

[annick]

Tout d'abord, il n'y a pas ici d'inéquation.
Tu as P(x) = 3x² + (a-1)x + (a+8) qui est ton trinôme du second degré.

Puisque l'on te parle de ses racines, ça veut dire que tu cherches P(x)=0, c'est-à-dire

3x² + (a-1)x + (a+8) =0

Tu cherches donc l'expression de delta pour ce trinôme.

[Laura75005]

Ah, je comprends !
Donc delta = (a-1)² - 4 * (a+8) * 3
= a² - 1 + (-4a - 32) * 3
= a² - 1 + (-12a - 96)
= a² - 1 - 12a - 96
= a² - 12a - 97

C'est ça ?

[annick]

L'idée est juste mais quelle étourdie : crois-tu que (a-1)²= a²-1 ? (et les identités remarques, alors !!!)

[Laura75005]

Ah oui, mince !

= a² - 2a + 1 - 12a - 96
= a² - 14a - 95

Et comment je peux faire pour seulement avoir a maintenant ? :scotch:

[annick]

Oui, cette fois c'est juste.
Quelle condition faut-il sur delta pour qu'il y ait une racine double ?
Donc...

[Laura75005]

Quand delta est supérieur à 0, mais là je viens de calculer delta, et avec le a, je ne peux pas savoir si c'est supérieur ou non à 0 :/

[annick]

Non, pour avoir 2 racines, il faut que delta soit plus grand que 0. Mais pour avoir une racine double, il faut que delta=0
Donc tu dois chercher
a² - 14a - 95 =0

[Laura75005]

Ah d'accord, je confonds les deux.

Donc maintenant je n'ai plus qu'à résoudre l'équation ou à chercher delta encore ? :/

[annick]

C'est cela, tu as à nouveau une équation du deuxième degré à résoudre.