Chapitre raisonnement par récurrence

[Michiyo]

Bonjour, je suis en terminale S et j'ai une seule question de mon DM qui me pose problème, je vais récapituler en gros l'objectif de celle-ci.
Donc j'ai une suite U_n = 2^n + n
Et une suite S_n = U_1 + U_2 + ... + U_n
Il faut tout bêtement exprimer S_n en fonction de n
Je pense qu'il faut d'abord émettre une conjecture puis utiliser un raisonnement par récurrence pour prouver notre hypothèse.
Je me débrouille pour le raisonnement mais je n'ai aucune idée de comment trouver la conjecture ...
Merci d'avance pour votre aide :)

[Nightmare]

Je me débrouille pour le raisonnement mais je n'ai aucune idée de comment trouver la conjecture ...

C'est assez étonnant, pouvoir effectuer un raisonnement sans savoir ce que l'on va montrer, c'est pas donné à tout le monde :lol3:

Pour conjecturer, il te faut procéder de manière empirique, à savoir en prenant des valeurs successives de n, jusqu'à ce qu'une formule te saute aux yeux.

Par exemple, si tu trouves :

S1=1
S2=4
S3=9
S4=16
S5=25
S6=36
etc.

Il semblerait naturel de vouloir montrer que pour tout n, Sn=n². C'est notre conjecture. (Evidemment ici, c'est un exemple, je n'ai pas vraiment calculé S1, S2,..., S6).

[Nightmare]

Après réflexion sur cet énoncé particulier, aller chercher la conjecture à démontrer par récurrence me semble bien plus délicat que procéder à une preuve directe :

Tu as l'expression de U(n), tu peux l'utiliser pour essayer d'exprimer S(n). Des sommes vont apparaître, il va falloir les calculer. Pour ça, tu pourras te référer à ton cours sur les sommes des termes de suites arithmétiques et géométriques.

[Michiyo]

C'est exactement ce que l'on a fait ce matin, mais dans ce cas ici, j'ai beau calculer autant de nombres que je veux, j'ai tout essayé mais rien ne me vient ...
Si tu veux j'ai les premiers termes, à partir de S_0 :
1-4-10-21-41-78
Le problème n'est pas comment procéder, mais que je n'arrive pas à voir le lien direct avec n ...
Merci de t'être intéressé à mon cas ^^

[Michiyo]

Sauf que c'est directement mon professeur qui m'a donné cet indication sur la façon de comment procéder, de plus, je ne pense pas que cet exercice soit dans le chapitre raisonnement pour récurrence pour rien ...

[Nightmare]

Vu l'expression finale de Sn, ça me semble étrange qu'on te demande de la conjecturer à l'aide des termes de la suite.

[Luc]

Vu l'expression finale de Sn, ça me semble étrange qu'on te demande de la conjecturer à l'aide des termes de la suite.

En fait, si l'on calcule séparément et , on peut conjecturer la forme de chacune de ses deux sommes, et ensuite ajouter les résultats pour "conjecturer" la forme de S.
D'un point de vue pédagogique, l'exercice est très mal choisi si l'on veut illustrer le principe de récurrence...

[Nightmare]

En fait, si l'on calcule séparément et , on peut conjecturer la forme de chacune de ses deux sommes, et ensuite ajouter les résultats pour "conjecturer" la forme de S.

Je suis d'accord, mais c'est presque du calcul direct, car a priori la somme de suites arithmétiques et géométrique est censée être connue.

D'un point de vue pédagogique, l'exercice est très mal posé si l'on veut illustrer le principe de récurrence...

Complètement...

[Luc]

Je suis d'accord, mais c'est presque du calcul direct, car a priori la somme de suites arithmétiques et géométrique est censée être connue.

Exactement, d’où le problème

[Michiyo]

Merci, mais contrairement au principe de récurrence, je ne me sens pas dans mon bain ^^"
Pouvez-vous juste me donner quelques bases genre formules ou récapituler brièvement comment je dois procéder ?
Enfin, merci beaucoup pour votre aide, je comprends au moins pourquoi je tournais en rond depuis tout ce temps ^^.

[Luc]

Merci, mais contrairement au principe de récurrence, je ne me sens pas dans mon bain ^^"
Pouvez-vous juste me donner quelques bases genre formules ou récapituler brièvement comment je dois procéder ?
Enfin, merci beaucoup pour votre aide, je comprends au moins pourquoi je tournais en rond depuis tout ce temps ^^.

On note et .
Essaye de montrer par récurrence sur n que que .
Ensuite, essaye de montrer par récurrence sur n que .