Exo de récurrence

[terminale-s]

Bonjour !

Je suis nouveau sur le forum et je poste donc ma première question

Je commence les récurrences en terminale et j'ai ce type d'exercice à faire :

"Pour tout entier naturel n, on note (Pn) la proposition "3 (puissance n) (n+2)²".

1. Les propositions (P0), (P1), (P2) et (P3) sont-elles vraies ?

Donc la j'ai trouver que seulement (P3) est vraie.

2. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n 3, (Pn) est vraie.

Donc, je fais l'initialisation et confirme que la propriété est vraie au rang 1. Ensuite débute l'hérédité donc je suppose : 3(puissance n) (n+2)² et je veut : 3(puissance n+1) (n+3)².

Je débute l'hérédité par 3(puissance n) x 3 (n+2)² x 3.

La j'ai bien 3 puissance n+1 à gauche mais je ne sais pas comment me débrouiller avec la droite. Je distribue ? Je me retrouve avec quelque chose d'assez imposant et je ne sais pas quoi en faire


Quelqu'un aurait-il une idée ?
Merci d'avance !

[SaintAmand]

[COLOR=Red]Donc, je fais l'initialisation et confirme que la propriété est vraie au rang 1.

As-tu oublié que tu as montré que P(1) est faux ?

Ensuite débute l'hérédité donc je suppose : 3(puissance n) (n+2)²

Ce n'est pas la bonne hypothèse.

[C.Ret]

Bonjour,

Effectivement sur le membre de gauche, avc le facteur 3, il est impossible de trouver quelque chose de la forme (n+3)^2 comme attendu.

Par contre, il faut prouver que 3(n+2)^2 est un majorant de la valeur attendu. Dans ce cas, l'inéquation sera vérifiée.

Il faut donc montrer que 3(n+2)^2 >= (n+3)^2 sachant que n>=3 puiseque PO, P1 et P2 sont faux.

[messinmaisoui]

Hello

Je ferais mais il y a peut-être plus simple / élégant

P(3) est vraie et maintenant
il faut montrer que p(n) vrai alors p(n+1) vrai aussi
Pour n : 3^n ;) (n+1)² (exp1)

Pour n+1 : 3^(n+1) ;) (n+2)² (exp2)

Prenons 3^(n+1) = 3^n * 3
si l'on multiplie (exp1) par 3
cela va nous donner 3^n * 3 ;) (n+1)² * 3
soit 3^(n+1) ;) (n+1)² * 3

donc je chercherais ensuite à démontrer que (n+1)² * 3 ;) (n+2)² pour n ;) 3
en faisant passer tout à gauche par exemple
et en résolvant l'équation du 2nd degré en n


Dond une idée oui mais est-ce la meilleure :lol3: :dodo:

[EDIT] et en plus je suis lent j'ai été grillé :lol3:

[terminale-s]

As-tu oublié que tu as montré que P(1) est faux ?



Ce n'est pas la bonne hypothèse.

J'ai montré que (P0), (P1) et (P2) étaient faux mais que (P3) été juste donc je fais la récurrence pour tout n 3.

Comme c'est nos premiers exos j'ai juste suivi l'exo du cours, ce n'est pas bon ?

[terminale-s]

Bonjour,

Effectivement sur le membre de gauche, avc le facteur 3, il est impossible de trouver quelque chose de la forme (n+3)^2 comme attendu.

Par contre, il faut prouver que 3(n+2)^2 est un majorant de la valeur attendu. Dans ce cas, l'inéquation sera vérifiée.

Il faut donc montrer que 3(n+2)^2 >= (n+3)^2 sachant que n>=3 puiseque PO, P1 et P2 sont faux.

Qu'est ce qu'un majorant ?!? ^^ C'est quand on en supprime un bout c'est ça ?

[C.Ret]

J'ai montré que (P0), (P1) et (P2) étaient faux mais que (P3) été juste donc je fais la récurrence pour tout n 3.

Comme c'est nos premiers exos j'ai juste suivi l'exo du cours, ce n'est pas bon ?

Si si c'est bon, c'est juste que comme tu dis "je vérifie que la propriété est vraie au rang 1". C'est ambigü, on pourrait penser que tu n'a pas vu que le rang 1 c'est pour

[terminale-s]

Hello

Je ferais mais il y a peut-être plus simple / élégant

P(3) est vraie et maintenant
il faut montrer que p(n) vrai alors p(n+1) vrai aussi
Pour n : 3^n (n+1)² (exp1)

Pour n+1 : 3^(n+1) (n+2)² (exp2)

Prenons 3^(n+1) = 3^n * 3
si l'on multiplie (exp1) par 3
cela va nous donner 3^n * 3 (n+1)² * 3
soit 3^(n+1) (n+1)² * 3 Jusque la ok !

donc je chercherais ensuite à démontrer que (n+1)² * 3 (n+2)² pour n 3
en faisant passer tout à gauche par exemple
et en résolvant l'équation du 2nd degré en n


Dond une idée oui mais est-ce la meilleure :lol3: :dodo:

[EDIT] et en plus je suis lent j'ai été grillé :lol3:

Je n'ai jamais utilisé les équations du 2nd degré pour ça Oo

Donc je distribue mon (n+1)² * 3 pour avoir une équation du second degré ?
Et j'en fais quoi après ?

[terminale-s]

Si si c'est bon, c'est juste que comme tu dis "je vérifie que c'est bon au rang 1". C'est ambigü, on pourrait penser que tu n'a pas vu que le rang 1 c'est pour

Ah ok merci oui comme je disais, je recopie la présentation de mon cours donc j'ai pas changé ^^

Pour une rédaction "bien" je dois écrire : je vérifie au rang 1 pour n 3 ? Ou alors au rang 3 ?

[messinmaisoui]

Je n'ai jamais utilisé les équations du 2nd degré pour ça Oo

Donc je distribue mon (n+1)² * 3 pour avoir une équation du second degré ?
Et j'en fais quoi après ?

Que l'ensemble des solutions trouvées doit être "compatible" avec la condition n>=3

[C.Ret]

Je n'ai jamais utilisé les équations du 2nd degré pour ça Oo

Donc je distribue mon (n+1)² * 3 pour avoir une équation du second degré ?
Et j'en fais quoi après ?

Tu développe et regroupe d'un coté
Tu obtient une inéquation du genre

On calcule le discriminant et les deux racines n1 et n2 afin de pouvoir discuter du signe. On vérifie alors que l'inéquation est vérifiée pour les valeurs de n qui nous interessent (ici n>=3 ).

Si c'est bon, l'hypothèse de récurrence est vérifiée et comme on a pris le soin de vérifier pour n=3, on pourra affirmer que Pn est vrai pour tout n>=3 !

Si par malheur ce n'est pas bon, cela signifie qu'il y a des restrictions, comme par exemple un rang à partir duquel Pn n'est plus vérifiée. Mais, sauf ereur de ma part, ce n'est pas le cas ici.

[terminale-s]

Tu développe et regroupe d'un coté
Tu obtient une inéquation du genre

On calcule le discriminant et les deux racines n1 et n2 afin de pouvoir discuter du signe. On vérifie alors que l'inéquation est vérifiée pour les valeurs de n qui nous interessent (ici n>=3 ).

Si c'est bon, l'hypothèse de récurrence est vérifiée et comme on a pris le soin de vérifier pour n=3, on pourra affirmer que Pn est vrai pour tout n>=3 !

Si par malheur ce n'est pas bon, cela signifie qu'il y a des restrictions, comme par exemple un rang à partir duquel Pn n'est plus vérifiée. Mais, sauf ereur de ma part, ce n'est pas le cas ici.

Ok merci !! Je vais tester ça !

Par contre si je passe tout le (n+2)^2 à gauche, ça deviens - (n+2)^2 ? Ou je dis des betises ? ^^