Petit exo sur la récurrence et la dérivée ....aider moi sorry!!!!

[izamane95]

résolu :++: :++: :++:

[Quidam]

Tu sais que la dérivée de cos(x), c'est -sin(x) !
Tu sais que -sin(x) ce n'est pas autre chose que
Donc la dérivée de cos(x) c'est
Penses-tu que ça va aider ?

[izamane95]

oui ça m'aide donc on peut dire que :
f'(x) = cosx+xcos(x+pi/2)
f''(x) = xsin²(x)+cos(pi-x)sinx-xcos²(x)
f'''(x) = 4sin²(x)-2

[izamane95]

est ce que ça me serai utile de tronsformer cos²(x) et sin²(x)....???????

[Quidam]

est ce que ça me serai utile de tronsformer cos²(x) et sin²(x)....???????

Mais non ! Ce n'est pas ce que je voulais dire ! Quand on tiens une super astuce, on y reste !








La récurrence est évidente !

[izamane95]

haaaaaaaaa....ok donc pour la 2éme question :
initialisation : pour n = 1 et x = 0 j'ai : f^n(x) = f'(0) = cos(0)+0*cos(0+pi/2) = 1 et j'ai aussi :
xcos(x+npi/2))+ncos(x+(n-1)pi/2)= 0*cos(0+pi/2)+1*cos(0+(1-1)pi/2)
[CENTER]=[/CENTER] 1
donc c'est vraie pour n=1 et x=0
-on veut montrer que c'est vraie pour n+1 et x+1(là j'ai sauter une étape celle de l'ypot de récc)
f '' (x+1) = 2cos(x+1+pi/2)+(x+1)cos(x+1+2pi/2)
mais j'arrive po a démontrer que f "(x) a la 2ème égalité en remplaçant nprn+1 et x :triste: par x+1

[Quidam]

donc c'est vraie pour n=1 et x=0
-on veut montrer que c'est vraie pour n+1 et x+1(là j'ai sauter une étape celle de l'ypot de récc)

1 - Aucun intérêt de montrer la chose uniquement pour x=0 ! Après tu devras faire la même chose pour x=1, x=2,...et après les entiers, il y aura les rationnels, et ensuite les irrationnels. Et tout ça uniquement pour n=1 ! T'es pas sorti de l'auberge !
La formule est vraie pour tout x ! Si tu te restreins à x=0, il reste une infinité de démonstrations à faire derrière !!!!!

2 - Oui, tu as sauté une étape ! Tu n'as absolument pas démontré que c'était vrai pour n=1 pour tout x ! Tu l'as démontré seulement pour x=0 et seulement pour n=1 !

on veut montrer que c'est vraie pour n+1 et x+1

Et maintenant, tu veut démontrer la chose pour n+1 seulement pour x+1 ? D'où cela sort-il, ce x+1 ? Si tu commences comme ça, tu devra ensuite montrer la chose pour x+2, x+3,...je vais pas recommencer ! J'espère que tu as compris ! Une fois que tu supposes que la formule est vraie pour tout x pour une certaine valeur de n, alors tu dois montrer qu'elle est aussi vraie pour tout x pour la valeur n+1.

Voici ma démonstration : c'est extrêmement simple !
Tu établis que c'est vrai pour n=0 : facile !
Il est effectivement évident que la formule :

est vraie pour tout x, si n=0. En effet, ça veut dire :

soit :
: C'est l'hypothèse !

Ensuite tu supposes que c'est vrai pour n=m :

Et tu dérives, une et une seule fois :


Et voilà ! C'est terminé !



Toutes les égalités ci-dessus écrites sont vraies pour tout x, quelle que soit la valeur de x !

[izamane95]

nn t' a pas bien lu la question : on veur démontrer l'égalité pour tout n non nul
si non je vous remercie par ce que j'avais meme pas capter qu'il démontrer l'égalité pour tout x

[Quidam]

nn t' a pas bien lu la question : on veur démontrer l'égalité pour tout n non nul

Si, j'ai très bien lu la question ! J'ai le droit d'utiliser la formule pour n=0 pour démontrer ce que j'ai envie de démontrer !

Par ailleurs, si démarrer de n=0 te gêne (il n'y a pas de raison !), tu n'as qu'à commencer avec n=1. Tu dérives une fois et tu constates que tu obtiens bien une formule identique à ce que tu trouves en donnant la valeur 1 à n dans la formule générale. Et ainsi, la récurrence est amorcée !

[izamane95]

ok donc pour n=1 on a
f ^1 (x) = xcos ( x+pi/2) + cos(x) = f ' (x)
on suppose que c'est vraie pour n = m (pas la peine d'écrire la formule...)
on dérive une fois : je trouve la meme formule que vous !
alors c'etait trop simple j' ai vraiment cherché à compliquer la vie.......voyons!!!!!!!!!! :marteau:
en tout cas un grand merci à vous :id: :id: :id: :id: :id:

[izamane95]

okkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk