Problème compréhension formule

[anthepalo]

Bonjour à tous !

je suis une élève de Terminale, j'ai entamé un chapitre sur les fonctions exponentielles et mon professeur a fait une parenthèse pour nous donner une formule de dérivation nouvelle qui pourrait nous aider, il s'agit de celle ci :

[f(ax+b)]' = a*f'(ax+b)

j'ai du mal à comprendre quelle est la différence entre [f(ax+b)]' et f'(ax+b)

quelqu'un pourrait-il m'expliquer s'il vous plait ?

Merci d'avance,


olapehtna

[C.Ret]

Bonjour

En fait il n'y a pas de différence. J'utilise aussi parfois cette façon de noter la dérivée simplement pour mettre en évidence la prime.
En effet, la prime est toute petite et on pourrait ne pas la voir entre le f et la parenthèse.

En plus, c'est important de bien comprendre que f'(a.x+b) et la dérivée de toute l'expression, c'est à dire de la fonction f(ax+b).

En notant , cela permet d'appuyer sur le fait que l'on cherche à exprimer la dérivée d'une expression du type fonction d'un polynôme en x.
On souligne ainsi le fait que l'expression de la dérivée de la même fonction f pour un autre type d'image pourrait être différente.

C'est bien le cas, l'expression indiquée n'est pas valable pour par exemple dériver !

[anthepalo]

merci de ta réponse.

mais si s'il n'y a aucune différence entre [f(ax+b)]' et f'(ax+b), comment se fait-il que la formule [f(ax+b)]' = a*f'(ax+b) est censée fonctionner ?
(j'ai peut être mal compris quelque chose)

[C.Ret]

Très bonne question.

Je crois surtout que c'est moi qui est mal compris la question et qui est donc mal formulée ma première réponse.

Je reprend donc.

A toute fonction f continue, il existe une et une seule fonction f' dérivée. Pour chaque point du domaine de définition et sous réserve de continuïté, cette fonction dérivée donne le sens et le taux de variation de la fonction f.

Il est possible de donner pour tout point de valeur x du domaine de définition la valeur y image de x par la fonction f que l'on note y=f(x).
De la même manière, à tout point z du même domaine de définition, il est possible de donner la valeur de la dérivée t=f'(z).

Cela est vai aussi au point x, on peut donc donner la valeur de la dérivée au point z=x en calculant la valeur t=f'(x).

Si maintenant , au lieu de considèrer le point x, on considère le point a.x+b où a et b sont deux paramètres. On a alors t=f'(a.x+b) la valeur de la dérivée de la fonction f au point a.x+b

C'est donc se que rprésente , c'est la valeur de la dérivée au point


Et c'est là que j'ai mal répondu dans mon premier post.

Il y a bien une diffèrence entre [f(a.x+b)]' et f'(a.x+b) car, en fait si f'(a.x+b) n'est que la valeur de la dérivée au point a.x+b, à l'inverse, la notation [f(a.x)+b]' veut désigner l'expression (ou la formule) de la fonction f dérivée en tous points de la forme a.x+b

En effet, il faut faire la diffèrence entre la valeur en un point donné et l'expression générale qui va permettre d'exprimer la formule de la fonction dérivée.

En effet, jusqu'ici, je n'ai pas mentionné ou indiqué d'expression ou donné la formule qui définie f. Donc f' désine la dérivée de f sans pour autant en donner une expression ou une formule.

Par contre, [f(a.x+b)]' désigne l'expression ou la formule de la dérivée. Il s'avère de plus que cette expression, dans le cas d'un polynôme a.x+b, s'exprime en fonction d'une valeur de la dérivée f'.

Je suis désolé d'avoir répondu maladroitement la première fois. :triste:
Il y a bien donc une différence.

Mais il ne faut pas voir le signe égal exactement comme celui d'une égalité, c'est plus le symbole d'une définition ou d'une équivalence :

« L'expression de la dérivée de la fonction f en tous points donnés par le polynôme a.x+b est de la forme a.f'(a.x+b) » qui s'écrit «»

On remarquera que cette formule est cohérente :
on a bien

[Arnaud-29-31]

Bonjour,

est l'image de par .
Le soucis doit venir ensuite de la compréhension de la notation, est l'image de par alors qu'en écrivant on sous entend que l'on travaille sur une fonction qui est la composé de avec la fonction qui a associe que l'on peut appeler . Et c'est cette fonction composée que l'on dérive. Pour rapidement expliquer, si est la fonction alors est , si est la fonction alors est etc ...

De mon point de vue, écrire = n'est pas correct, en effet est une fonction : la fonction dérivée de alors que est un nombre : l'image de par

il aurait fallu écrire = c'est à dire en français :
L'image de par la dérivée de est égale à l'image de par la dérivée de f.



Un exemple concret :

Prenons donc
On cherche c'est à dire soit et en dérivant on a
La formule nous dit que c'est égal à c'est à dire soit et on retombe bien sur le même résultat.

[anthepalo]

tout d'abord, merci pour vos réponses très développées, c'est vraiment appréciable ! :++:

je vais essayer de développer une fonction pour vérifier si j'ai bien compris :

prenons par exemple (7x-4)²

g(x) = (7x-4)²
or f(x) = g(x)
donc f(x) = (7x-4)² => f(ax+b) = x²

et g'(x) = a*f'(ax+b) => g'(x) = 7 * (2*(7x+4)) = 7*(14x+8) = 98x+56

ai-je bien compris ? :we:

[anthepalo]

edit : j'ai fais une petite erreur de signe : j'ai écris +4 au lieu de -4 ce qui modifie le signe de 56, mais outre cette erreur d’inattention je pense avoir compris.

est ce que vous pensez que j'ai le bon raisonnement ? et manque t il ou y a t il quelque chose de dispensable dans mon calcul ?

merci

[Arnaud-29-31]

Tu dérives bien la fonction dans ta dernière mais il y a un soucis dans les premières choses que tu écris. En effet, f est différente de g et la fonction que l'on cherche à dérivé est ni l'une ni l'autre mais la composée des deux.

On veut dériver
C'est la fonction composée avec . On peut aussi écrire cette fonction avec .

Donc la dérivée vaut

[C.Ret]

Oui, c'est presque juste, sauf que c'est un peu embrouillé car il y a confusion entre les fonction f et g. Et aussi un erreur de signe (mais ça c'est pas grave aujourd'hui)


En fait, c'est simple, il n'y a pas à faire de mélange entre les f et les g.

Si l'on considère la fonction définie pour tout réel x.
On veut calculer la dérivée :
(*)

Si l'on fait directement, on trouve :


Mais, on peux aussi utiliser l'astuce indiquée par le prof :
Pour cela nous posons pour tout réel x.
Nous savons calculer la dérivée de cette fonction, pour tout réel x.

On se rend compte que

Et donc


Nous obtenons bien évidemment le même résultat. :lol3:

Mais alors, pourquoi avoir utiliser cette seconde méthode ??

Ben, l'idée est que cela rend bien service avec certaines fonctions.
Par exemple, une exponentielle.



(*) Voilà pourquoi j'ai affirmé précèdemment qu'il n'y avait pas de diffèrence :hum:

[anthepalo]

merci pour vos réponses,
mais je n'ai pas saisi qu'est ce qui rigoureusement doit me faire penser qu'il faut que je pose f(x)=x² . je n'ai pas non plus compris pourquoi est ce qu " On se rend compte que g'(x) = [f(7x-4)]' "

[Nightmare]

Bonjour,

pour éviter toute ambiguïté, il suffit de proscrire l'utilisation de la notation abusive [f(x)]' qui n'est de toute manière pas dans les programmes et en particulier certains correcteurs au bac retireront des points en la voyant. Réservez-la pour vos brouillons.

[anthepalo]

bonjour,

ok mais que mettre à la place dans ce cas là ?

merci

[Nightmare]

Tu peux donner un nom à ta fonction (f, g, h etc.) et travailler avec f', g' et h'.

Autrement, lors de ta rédaction, il te suffit de citer les formules de dérivation et de les appliquer directement.

Exemple de rédaction :

Question : Soit f(x)=(2x+1)², calculer f'(x)

Réponse : On utilise la propriété : Pour toute fonction dérivable u, .

Ici, on prend . Alors si bien que , c'est à dire

:happy3:

[anthepalo]

je vais certainement paraître pour un idiot mais pourquoi as tu écris " (u²)' = 2u'u " et non pas simplement (u²)' = 2u ?

[Nightmare]

u est une fonction ici, pas une variable!

[anthepalo]

ah ! donc (u²)' = 2u'u est une formule spéciale que je connaissais pas ?

on l'utilise à chaque fois ?

ça expliquerait pourquoi j'ai cherché à comprendre en vain pendant des heures :marteau:

[Nightmare]

Effectivement c'est une formule à connaître que tu vas surement voir bientôt.

Cela dit, ce n'est pas sur elle qu'il faut que tu te focalises mais la rédaction.

[anthepalo]

d'accord, je peux donc utiliser cette méthode en m'en passant ?

je précise que je suis en terminale .. alors je ne sais pas si c'est en première que je suis censé l'avoir vu

[Nightmare]

Effectivement, tu as dû la voir en 1ère.

[anthepalo]

Tu peux donner un nom à ta fonction (f, g, h etc.) et travailler avec f', g' et h'.

Autrement, lors de ta rédaction, il te suffit de citer les formules de dérivation et de les appliquer directement.

Exemple de rédaction :



:happy3:

(ceci étant dis je ne vois pas où est ce que cette formule est utilisée dans la démonstration)