Matrice nilpotente

[schouby]

Bonjour a tous ! J'aurais besoin d'indications pour débuter mon dm car je coince.

Voici la question :

Soit A ;) Mn(K) une matrice nilpotente d'indice p.
On s'intéresse au cas n=2. Soit A ;) M2(K) une matrice nilpotente non nulle.
Quel est l'indice de nilpotence p de A ?
Que valent les dimensions de Ker A et Im A ?

merci d'avance

[Skullkid]

Bonjour, que sais-tu du lien entre l'indice d'une matrice carrée nilpotente et la taille de cette matrice ?

[girdav]

Bonjour,
qu'est-ce que tu as essayé ?

[schouby]

Bonjour, que sais-tu du lien entre l'indice d'une matrice carrée nilpotente et la taille de cette matrice ?

Si j ne me trompe pas l'indice d'un endomorphisme nilpotent est toujours inférieur ou égal à la dimension de l'espace

[schouby]

Bonjour,
qu'est-ce que tu as essayé ?

Justement j'ai réussi a faire toute la première partie du dm et la je n'ai mais alors aucune idée

[schouby]

Si j ne me trompe pas l'indice d'un endomorphisme nilpotent est toujours inférieur ou égal à la dimension de l'espace

Si c'est cela qu'il faut utiliser alors p=2 car il doit etre inferieur ou egal a la dimension de l'espace et d'apres la définitn d'une matrice nilpotente A^(p-1);)0

[schouby]

Est-ce cela ?

[Skullkid]

Oui, comme tu l'as dit, p doit être inférieur à 2, et ne peut pas être égal à 1 puisqu'on te dit que ta matrice A est non nulle (la matrice nulle est la seule matrice nilpotente d'indice 1). Un raisonnement similaire te permet de trouver les dimensions de Im A et Ker A.