DM Probabilité

[Ketur77]

Bonsoir,
Je suis en première année de DUT GEA et j'ai un DM à rendre la semaine prochaine. Je bloque déjà pour les premières questions...
Merci d'avance pour votre aide.


La machine à 1 000 000 €

Une entreprise envisage l'achat d'une machine d'une valeur de 1 000 000 €, et d'une durée de vie de 5 ans. Les dépenses de fonctionnement prévisibles pour ce matériel sont de 60 000 € par an pendant les 5 premières années. Cette machine a une capacité de production annuelle maximale de 600 000 pièces par an.

L'entrepreneur estime que chaque année la probabilité d'écouler cette production maximale est de 0.6 mais qu'il faut prévoir de n'écouler qu'une quantité minimum 400 000 pièces avec une probabilité 0.1. Dans les autres cas, il s'attend à pouvoir en écouler 500 000. On admettra que la production est exactement égale à la quantité vendue (pas de constitution de stocks).
On admettra aussi qu'il y a indépendance entre les quantités vendues chaque année.

Outre l'amortissement de la machine et le coût de fonctionnement, les charges variables de fabrication s'élèvent à 0,5 € par pièce.
D'autres part le prix de vente d'une pièce (imposé par la concurrence) est de 1€ pour chacune des 3 premières années. Pour les années suivantes le prix de vente peut évoluer, mais on supposera qu'il restera alors constant sur ces nouvelles années ; par rapport à son prix de vente au cours des trois premières années, il y a une probabilité 0,5 qu'il se maintienne, une probabilité 0,2 qu'il augmente de 10% et une probabilité 0,3 pour qu'il baisse de 20%.

On admettra enfin que la quantité vendue et le prix de vente unitaires sont deux variables aléatoires indépendantes.

On notera Qi la variable aléatoire égale à la quantité écoulée au cours de l'année i, et Q la quantité écoulée totale sur les 5 années.

1) Calculez l'espérance mathématique et la variance pour la quantité de pièces écoulées pour une année.
2) Calculez l'espérance mathématique et la variance pour la quantité de pièces écoulées pour l'ensemble des cinq années.
3) Calculez l'espérance mathématique du montant des ventes de chaque année, puis l'espérance de coût de chaque année (amortissement + fonctionnement + production)
4) Cette machine est-elle rentable ?

La suite pour après.


Je vous donne mes résultats :
1) E(Q) = 550 000
V(Q) = 4499999997

2) E(Q1) = E(Q2) = E(Q3) = E(Q4) = E(Q5)
Q = Q1 + Q2 + Q3 + Q4 + Q5
Par additivité, E(Q) = E(Q1) + E(Q2) + E(Q3) + E(Q4) + E(Q5) = 2 750 000
On admet qu'il y a indépendance entre les quantités vendues chaque année. Donc il y a additivité de la variance.
V(Q)= V(Q1) + V(Q2) + V(Q3) + V(Q4) + V(Q5) = 2,249999999.1010

3) On note Pi la variable aléatoire égale au prix de vente d'une pièce au cours de l'année i et P le prix total sur les 5 années.
Loi de P :
Valeur xi de P : 0,80 € / 1 € / 1,10 €
Pi : 0,3 / 0,5 / 0,2

E(P) = 0,96

Pour le coût je sais pas comment faire, et qu'est-ce que l'amortissement? C'est le prix de la machine (ici 1 000 000 €) ?