Théorie des groupes.

[Nicolas59]

Bonjour ,
Soit G d'ordre 12 et H un 3-Sylow de G
la première concerne ce morphisme
f: G -----> Per ( G/H )
g |----> f(g)

où f(g): G/h ----> G/H
xH |---> f(g)(xH) = gxH

( l'action par translation )

je ne comprends pas bien pourquoi le noyau est l'intersection des xHx^(-1).

[Nightmare]

Hello,

quel est le neutre de G/H? Donc quelle égalité doivent vérifier les éléments du noyau de f?

[Nicolas59]

Hello,

quel est le neutre de G/H? Donc quelle égalité doivent vérifier les éléments du noyau de f?

Le neutre de G/H est H .
le noyau de f est = { g appartenant à G tel que f(g)= application identité de G/H dans G/H}

g appartient à ker (f) ssi f(g)(xH) = xH ssi gxH = xh ssi g appartient xHx^(-1)

c'est l'intersection qui me perturbe je crois

[Nightmare]

J'ai du mal à te suivre.

Le neutre de G/H est H, ok. Mais pourquoi dis-tu ensuite que le noyau est l'ensemble des g tels que f(g)= l'identité de G/H? Déjà ça n'a aucun sens, car f(g) c'est un élément de G/H donc un ensemble, ça ne peut pas être une application!

[Nicolas59]

J'ai du mal à te suivre.

Le neutre de G/H est H, ok. Mais pourquoi dis-tu ensuite que le noyau est l'ensemble des g tels que f(g)= l'identité de G/H? Déjà ça n'a aucun sens, car f(g) c'est un élément de G/H donc un ensemble, ça ne peut pas être une application!

f est une action de G sur G/H, par définition d'une action, f(g) vit dans Per(G/H) , f(g) est donc une application de G/H dans G/H,non?

[Nightmare]

Effectivement, j'avais très mal lue la définition de f(g)!

Alors dans ce cas ma question sur le neutre de G/H n'était pas pertinente. Il s'agit en effet de trouver, comme tu l'as envisagé, tous les g tels que f(g) soit l'identité de G/H.

Autrement dit, on doit avoir pour tout x, gxH=xH.

Ce qu'on veut montrer, c'est que l'ensemble de ces g est égal à .

Peux-tu montrer :

1) Que les éléments de vérifient bien pour tout x, ?

2) Réciproquement, qu'un élément g vérifiant pour tout x gxH=xH est bien dans l'intersection?

[Nicolas59]

Oui, évidemment, j'ai oublié la définition ensembliste de l'intersection ^^
Première inclusion
g appartient Inter(xHx^(-1))
alors POUR TOUT x dans G , g est dans xHx^(-1)
alors g=xhx^(-1) pour un certain h dans H
donc gxH= xhx^(-1)xH =xhH =x H car h est dans H.

seconde inclusion

Soit g verifiant gxH=xH pour tout x dans G
g est dans xHx^(-1) pour tout x dans G
g est dans Inter(xHx^(-1))

[Nightmare]

C'est presque ok mais pour la seconde inclusion, même si c'est presque trivial il faut préciser un peu plus pourquoi gxH=xH <=> g dans xHx^-1