Identité à montrer
Réponses à toutes vos questions après le Bac (Fac, Prépa, etc.)
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Julien S.
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par Julien S. » 25 Mai 2006, 18:04
Bonjour à tous!
Pour un problème de physique théorique, je dois montrer l'identité suivante:
\left(\frac{d}{du}\right)^{k+1}(u^2-1)^k]=k(k+1)\left(\frac{d}{du}\right)^k(u^2-1)^k)
où k est un entier positif. Je sais que cette identité est vraie mais je n'arrive pas à la montrer. J'ai essayé une preuve directe, une preuve par induction sur k, mais je n'arrive pas à mes fins. Si quelqu'un pouvait m'éclairer, ne serait-ce qu'en me donnant une démarche ou une idée, j'apprécierais énormément!
Merci et bonne soirée!
Julien.
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zorg
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par zorg » 25 Mai 2006, 21:25
Ceci est une égalité connue sur les polynômes de Legendre
=\frac{d^k}{du^k}(u^2-1)^k)
Je n'ai pas le courage de vous détailler les étapes mais en gros en dérivant k+1 fois (à l'aide de la formule de Leibniz) l'égalité
(P_k)'(u)-2kuP_k(u)=0)
avec
=(u^2-1)^k)
on y arrive ...
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Julien S.
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par Julien S. » 25 Mai 2006, 23:45
merci zorg, c'est bien cool! je sais que cela concerne les polynômes de Legendre, mais j'arrive pas à le montrer (ça part d'une équation aux valeurs propres pour un problème de mécanique quantique).
Je vais essayer de partir de ton égalité!
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Yipee
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par Yipee » 26 Mai 2006, 10:38
La réponse est un peu longue (mais ultra classique). Tu pourras la trouver par exemple à l'adresse suivante :
ici
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mln
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par mln » 26 Mai 2006, 11:00
Bonjour,
En utilisant leibniz, ca donne :
Posons
=(u^2-1)^n)
et
}_n)
la dérivée n-ième de
on a
)}{du^{n+1}}= \sum_{k=0}^{n+1}\ C_{n}^{k}\frac {d^{k}\ (2n u)}{du^{k}}\ P_n^{(n-k+1)}(u) = 2nu\ P_n^{(n+1)}(u) } + (n+1)2n\ P_n^{(n)} (u))
et
\ P'_n(u))}{du^{n+1}}= \sum_{k=0}^{n+1}\ C_{n}^{k}\frac {d^{k}\ (u^2-1)}{du^{k}}\ \ P^{(n-k+2)}_n(u) = (u^2-1)\ P^{(n+2)}_n(u) } + 2u(n+1)\ P^{(n+1)}_n(u) + \frac{2}{2}n(n+1)\ P^{(n)}_n(u))
Comme on a
(P_n)'(u)=2nuP_n(u))
; en dérivant n+1 fois cette relation, on obtient :
\ P^{(n+2)}_n(u) + 2u(n+1)\ P^{(n+1)}_n(u) + n(n+1)\ P^{(n)}_n(u) = 2nu\ P_n^{(n+1)}(u) + (n+1)2n\ P_n^{(n)} (u))
Donc
\ P_n^{(n)} (u) -2uP_n^{(n+1)}(u) - (u^2-1)P^{(n+2)}_n(u)=0)
Or
\frac{d^{n+1}\ (u^2-1)^n}{du^{n+1}}= 2uP_n^{(n+1)}(u) + (u^2-1)P^{(n+2)}_n(u))
Donc
\frac{d^{n+1}\ (u^2-1)^n}{du^{n+1}} = n(n+1)\ P_n^{(n)} (u) = n(n+1)\ \frac {d^{n}\ (u^2-1)^n }{du^{n}})
Voili, voilou
bon courage
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Julien S.
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par Julien S. » 26 Mai 2006, 13:40
Merci infiniment mln, c'est vraiment cool, tu m'enlèves une épine :++: .
Bonne journée!
Julien.
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