Identité de Cauchy - forme quadratique

[jamah3]

Bonjour,
J'ai un probléme qui me pose du soucis.
Il s'agit de montrer l'identité de cauchy c'est a dire :
q(q(u)v-B(u,v)u)=q(u)[q(u)q(v)-B(u,v)B(v,u)]

J'ai aussi le corrigé mais je ne comprend pas comment il passe de la ligne 1 a la ligne 2

Corrigé :
La formule s'obtient par un calcul direct utilisant la bilinéarité de B.

( rappel sur la bilinearite de B :
B(u,v1+av2)=B(u,v1) + aB(u,v2)
B(v1+av2,u)=B(v1,u) + aB(v2,u) )

q(q(u)v-B(u,v)u)=B(q(u)v-B(u,v)u,q(u)v-B(u,v)u) (ca je comprend ca viens de q(u)=B(u,u))
=q(u)²B(v,v)-q(u)B(u,v)B(v,u)
-B(u,v)q(u)B(u,v)+B(u,v)²B(u,u)

(quelques lignes plus tard en concatenant on obtient bien ce qui est demandé)
mais moi je n'arrive pas a comprendre comment on arrive a ce qui est ci dessus meme avec les formules de linearite , je ne vois pas ..)

Si vous pouvez m'aidez ca serait génial.


Jamah

[mathelot]

Il s'agit de montrer l'identité de cauchy c'est a dire :
q(q(u)v-B(u,v)u)=q(u)[q(u)q(v)-B(u,v)B(v,u)]

Bonjour,

ce qui est certain, c'est pour montrer une telle égalité, il n'y a que la bilinéarité
(ie, la mise en oeuvre de la double distributivité)
qui permette des calculs.

En conséquence, il faut démarrer les calculs en remplaçant systèmatiquement
la forme quadratique q(u) par B(u,u)

exactement comme, en complexes, on remplace par

[mathelot]

Quand on développe le membre de gauche de l'égalité
par bilinéarité,

il y a deux termes qui se simplifient