Nombres Complexes

[cmm1]

Bonjour
Je n'arrive pas a résoudre cet exercice, pourriez vous m'aider svp

Déterminer dans le plan complexes l'ensemble des points M distincts de - 2 - i , tels que :
Z = (z - 4 - 2i) / (z + 2 + i)

a) Tels que Z appartienne à R (a prouver par 2 manières différentes)
b) Tels que Z appartienne à R*+ (a prouver de 2 manières différentes)

Par avance merci!

[ArkDShiggy]

1)a)

Z appartient à R => Im Z = 0 ou arg (Z)= 0 + k*pi

Première méthode:
tu remplaces z par x+i*y,tu multiplies par le conjugué du dénominateur et tu trouves une conditions sur x et y pour que la partie imaginaire soit nulle

Deuxième méthode:

arg((z - 4 - 2i) / (z + 2 + i)) = arg(z - 4 - 2i) - arg(z + 2 + i)
= angle entre les vecteurs AM et BM
où M est le point d'affixe z,A le point d'affixe -(2+i) et B le point d'affixe 4+2i
Si l'angle vaut 0 ou pi M est sur la droite (AB)

Pour la question 2 tu rajoutes des conditions supplémentaires :
Re(Z)>0 ou
M n'appartient pas au segment [AB]

[cmm1]

Mais comment je dois faire pour mettre (x+yi-4-2i) / (x+yi+2+i) sous la forme algébrique ?
Je multiplie le numérateur et le dénominateur par (x-yi+2-i) ou par autre chose ?

[cmm1]

Bonjour,

Comment faire pour mettre (x+yi-4-2i) / (x+yi+2+i) sous la forme algébrique ?
Je multiplie le numérateur et le dénominateur par (x-yi+2-i) ? Ou un autre nombre ?
Merci par avance

[ArkDShiggy]

Oui c'est ca tu multiplie le numérateur et le dénominateur par (x-yi+2-i),
tu vas obtenir le module de (x-yi+2-i) au dénominateur,tu pourras donc t'intéresser uniquement au numérateur

[cmm1]

Oui c'est ca tu multiplie le numérateur et le dénominateur par (x-yi+2-i),
tu vas obtenir le module de (x-yi+2-i) au dénominateur,tu pourras donc t'intéresser uniquement au numérateur

Mais au dénominateur j'obtiens x² + y² + 4x + 2y + 5

.... Pourquoi avec ce résultat je peux m'intéresser uniquement au numérateur ?

[ArkDShiggy]

En multipliant un nombre complexe par son conjugué ,tu obtient le module du nombre complexe au carré,soit un terme positif:

x²+y²+2x+4y+5=(x+1)²+(y+2)²>0

[cmm1]

Pouvez vous me donner un exemple pour trouver l'argument : arg(z - 4 - 2i).
J'ai appris a les calculer, mais ici le z m'embête. Je sais calculer arg(-4-2i) mais comment faire avec le z
Merci