Suites 3.

[Grigori]

Salut.

Soit une suite numérique et et et des suites numériques tels que :







quelque soit n de IN*.

On note la solution positive de l'équation : x²-x-1=0 (

1) a ) Prouver que si était convergente et que on a :

1) b) Déduire que si était convergente et que on a .

* Supposons on a : et et et quelque soit n de IN*.

2) a) Prouver que la suite est croissante.

2) b) Prouver avec la récurrence que: : et déduire .

2) c) Prouver que : :

3) Prouvez que la suite décroissante et que : :

4) Prouver que la suite est décroissante et que : : .

5) Déduire que les suites et est convergente et déterminer lerus limite.
__________________________

Votre aide pour les questioins suivantes :

1) a )
1) b)
3)
4)

Merci infiniment pour votre aide!

[ArkDShiggy]

1)a)

A partir d'un rang N, an=L
donc pour n>N
dn=(a1+a2+...+aN)/n + L*(n-N)/n
Le premier terme de la somme tend vers 0 en +infini , pour le second lim n-N=lim n
On a donc bien lim dn=L
C'est peut etre pas tres rigoureux mais ca devrait passer.

1)b)

an=cn+a(n-1)=cn+c(n-1)+a(n-2)
Par récurrence an=c(1)+c(2)+...+c(n-1)+c(n)
donc b(n)=(c(1)+c(2)+...+c(n))/n
D'apres le résultat de la question précédente bn converge vers L si cn converge vers L

[ArkDShiggy]

Par contre,j'ai pas bien compris comment était défini tes an et tes bn our la deuxieme partie du problème
an=a(n+1)??

[Grigori]

1)a)

A partir d'un rang N, an=L
donc pour n>N
dn=(a1+a2+...+aN)/n + L*(n-N)/n
Le premier terme de la somme tend vers 0 en +infini , pour le second lim n-N=lim n
On a donc bien lim dn=L
C'est peut etre pas tres rigoureux mais ca devrait passer.

1)b)

an=cn+a(n-1)=cn+c(n-1)+a(n-2)
Par récurrence an=c(1)+c(2)+...+c(n-1)+c(n)
donc b(n)=(c(1)+c(2)+...+c(n))/n
D'apres le résultat de la question précédente bn converge vers L si cn converge vers L

Merci infiniment pour votre aide..Un dernier coup de pouce pour prouver que (c_n) est décroissente ?

Est ce qu'on calcule et et on déduit tout simplement ?

[Grigori]

Par contre,j'ai pas bien compris comment était défini tes an et tes bn our la deuxieme partie du problème
an=a(n+1)??

On défnit les suites dans la deuxiéme partie, oui.

[Grigori]

Par contre,j'ai pas bien compris comment était défini tes an et tes bn our la deuxieme partie du problème
an=a(n+1)??

Ah non, je l'ai corrigé..Je suis désolé , c'était une erreur de frappe...Pardon.

[el niala]

1)a)
A partir d'un rang N, an=L
donc pour n>N
dn=(a1+a2+...+aN)/n + L*(n-N)/n
Le premier terme de la somme tend vers 0 en +infini , pour le second lim n-N=lim n
On a donc bien lim dn=L
C'est peut etre pas tres rigoureux mais ca devrait passer.

en gardant ton idée, avec un peu plus de "rigueur" :



on appelle Cauchy

converge ->

d'où en remplaçant dans l'expression précédente

avec

d'où en passant aux limites le résultat