Polynômes du second degré

par **Ewilan** » 31 Oct 2011, 17:45

Bonjour,
il me faut rendre un devoir-maison de mathématiques pour jeudi, mais j'éprouve quelques difficultés dans la résolution du dernier exercice. Pourriez-vous me mettre sur la voie, m'indiquer une méthode de résolution ? Je vous remercie d'avance. Ewilan.

Exercice:
On considère le trinôme f(x)=ax2 + bx + c avec a différent de 0
On sait qu'il existe un réel k tel que af(k)<0
Montrer que f a deux racines distinctes.

par **Nightmare** » 31 Oct 2011, 18:05

Salut,

dire que af(k) < 0 est équivalent à dire que a et f(k) sont de signes différents.

Si le polynôme du second degré f (qui n'est pas nécessairement un trinôme contrairement à ce que semble suggérer l'énoncé) n'admettait pas deux racines distinctes, que peut-on dire de son signe?

par **Ewilan** » 31 Oct 2011, 18:24

S'il s'avère que le polynôme n'admet pas deux racines, il est du signe de a pour tout x (delta<0) ou il s'annule en x0 et est du signe de a ailleurs (delta=0)... Non ? (Merci pour votre précédente réponse) Seulement, comment déterminer delta ?

par **Ewilan** » 31 Oct 2011, 18:27

Et nous n'avons aucune indication sur le signe de a...

par **Nightmare** » 31 Oct 2011, 18:33

Ewilan a écrit:S'il s'avère que le polynôme n'admet pas deux racines, il est du signe de a pour tout x (delta<0) ou il s'annule en x0 et est du signe de a ailleurs (delta=0)... Non ?

Oui, mais pas besoin de calculer Delta, ce que tu viens de dire suffit.

On sait donc que si un polynôme du second degré n'admet au plus qu'une racine, alors il est du signe de a.

Que veut dire "être du signe de a"?

Quel rapport ce qu'on veut montrer?

par **Ewilan** » 31 Oct 2011, 18:51

Je suis vraiment stupide ! :marteau: Si un polynôme n'admet au plus qu'une racine, il est du signe de a. Or, ici, af(x)<0, donc a et f(x) sont de signe différent. Par conséquent, le polynôme admet plus d'une racine ! Oui, mais comment démontrer que ces racines sont distinctes ? Suffit-il de démontrer que c/a<0 ? (Merci beaucoup !)

par **Nightmare** » 31 Oct 2011, 18:56

Si ton polynôme n'a qu'une racine, le raisonnement est le même, puisqu'il est encore du signe de a, sauf en sa racine où il est nul, mais ça ne change pas la contradiction.

par **Ewilan** » 31 Oct 2011, 19:06

Comment démontrer que les deux racines sont distinctes, autrement dit, que ca<0 ?

par **Nightmare** » 31 Oct 2011, 19:08

Je viens de te le dire :lol3:

par **Ewilan** » 31 Oct 2011, 19:42

Dans ce cas, je ne pense pas avoir tout à fait compris. :lol3: Démontrer que f(k) a deux racines, comprend que celles-ci sont distinctes ?

par **Nightmare** » 31 Oct 2011, 19:52

On veut démontrer que f a deux racines distinctes. Pour ça, je t'ai proposé de supposer le contraire et de montrer qu'on aboutit a une contradiction avec l'hypothèse.

Le contraire de "f a deux racines distinctes" dans le cas d'un polynôme du second degré est "f a au plus une racine".

Mais tu l'as dit, si f a au plus une racine, c'est à dire si elle en a juste une ou aucune, alors il est du signe de son coefficient a. Il ne peut donc exister de valeur k pour laquelle f(k) et a soient de même signe => Contradiction.

par **Ewilan** » 31 Oct 2011, 20:39

J'ai (enfin !) compris. Je vous remercie pour vos réponses claires, concises et structurées. A très bientôt ! Ewilan.

Polynômes du second degré