DM Complexe

[FilsdeZeus]

Bonjours tous,

Je suis entrain de cherche pour un DM mais je bloque vraiment ...

Enoncé:

u est un nombre complexe de module 1 et d'argument ;) tel que -;) < ;) < ;)

Question:

1) Exprimez 1 + Cos;) et Sin;) en fonction de Cos ;)/2 et Sin ;)/2

Je ne vois pas du tout comment faire... Je pensais faire un encadrement mais je ne suis pas du tout sur ...

[Trident]

u est un nombre complexe de module 1 et d'argument ;) tel que -;) < ;) < ;)

on a u = |u| exp (i;)) mais comme |u|= 1

on a alors :

u = exp (i;))

et par ailleurs

u = [exp(i *;)/2) ]²

donc :

exp (i;)) =[exp(i *;)/2) ]² (1)


Mais [exp(i *;)/2) ]² = [cos(;)/2) + i sin(;)/2) ]² = cos²(;)/2) + 2cos(;)/2)*sin(;)/2)* i - sin²(;)/2)


Tu sais que pour tt x , on a cos²(x) - sin²(x) = 2cos²(x) - 1 en remplaçant sin²(x) par 1 - cos²(x) donc au final on a :

[exp(i *;)/2) ]² = 2cos²(;)/2) - 1 + 2cos(;)/2)*sin(;)/2)* i

D'après (1), on a alors :

cos(;)) + i sin(;)) = 2cos²(;)/2) - 1 + 2cos(;)/2)*sin(;)/2)* i

Deux complexes sont égaux si et ssi leur partie réelle et imaginaire sont égales donc cette égalité nous donne :

cos(;)) = 2cos²(;)/2) - 1 d'où 1+cos(;)) = 2cos²(;)/2)

et sin(;)) = 2cos(;)/2)*sin(;)/2)