Géométrie dans l'espace

[matheyo]

bonjour,
j'ai un exercice de géométrie où je galère un peu:

On a 2 droite et on cherche un plan qui est parallèle à ces 2 droite. De plus, il doit être tangent à une sphère dont on connait le rayon et le centre.


Ce que j'ai fait:

Le plan est de la forme Ax+By+Cz+d = 0, d'où vecteur normal n : A,B,C
ensuite j'ai calculé le vecteur directeur des 2 droites u et v.
Donc j'obtient un premier système: n.u=0 et n.v= 0


et pour tangent a la sphère j'utilise la formule de la distance d'un point à un plan qui doit être égale au rayon de la sphère.

On obtient donc trois équations.

Voila donc j'aimerai savoir si la méthode est bonne ou pas car avec les équations je tombe sur des 0=0 :ptdr: donc soit la methode n'est pas bonne soit mes calculs sont faux.

:help:

[Doraki]

ben commence par calculer des valeurs de A,B,C qui marchent, avec tes deux équations n.u = n.v = 0.
Ensuite tu pourras calculer le D qui convient avec la formule de la distance d'un point à un plan.

[matheyo]

je te met les 2 droites :

D{x=2y+1;z=y+4} et D'{x-y+z+1;2x-y+9=0}

dis moi si tu est d'accord :lol3:

vecteur directeur de D est u=-2,-1,1 et vecteur directeur de D' est v= 1,2,1

d'où avec mon plan ax+by+cz+d=0 et n= a,b,c on a:

n.u=-2a-b+c et on veut -2a-b+c=0
et
n.v=a+2b+c = 0

on a donc ce systeme:

{-2a-b+c=0 et a+2b+c = 0}

si je résous cela j'ai a= 0 b=0 et c=0 :mur:

donc je vois pas quoi faire

[Doraki]

ton vecteur pour D est pas le bon.

Généralement quand tu as 2 équations à 3 inconnues, tu as une infinité de solutions.
(a=0, b=0, c=0) est une solution mais c'est pas la seule, par exemple (a=1, b=-1, c=1) est une autre solution de ton système (qui n'est pas le bon système). Alors si tu as trouvé que la seule solution était (0,0,0), ben tu as fait une erreur dans ta résolution.

[matheyo]

oui pour D c'est -2,-1,-1

ton système (qui n'est pas le bon système)

je me suis trompé dans un calcul et cela peux marcher pour résoudre l'exo ou j'abandonne cette idée ?

[Doraki]

Ben quand tu te gourres pas c'est exactement ce qu'il faut faire.
Maintenant que t'as le bon système, il faut une solution non nulle pour (A,B,C), puis chercher D.

[matheyo]

Donc on a bien le système :




je comprend pas comment le résoudre quoi que je fasse je retombe sur A=0,b=0,c=0 j'ai vraiment un soucis là :mur:

[Doraki]

eh bien montre tes calculs.

[matheyo]

donc -2a-b-c + (a+2b+c) =0
d'où -a+b=0
d'où a=b

ensuite dans a+2b+c = 0 et avec a=b
on a 3b+c=0 d'ou c=-3b

donc dans -2a-b-c= 0
on a -2b-b+3b=0 d'où 0=0 :ptdr:

en faite il me manquerai une 3eme équation -_-''

[picasso42]

bonjour,
j'ai un exercice de géométrie où je galère un peu:

On a 2 droite et on cherche un plan qui est parallèle à ces 2 droite. De plus, il doit être tangent à une sphère dont on connait le rayon et le centre.


Ce que j'ai fait:

Le plan est de la forme Ax+By+Cz+d = 0, d'où vecteur normal n : A,B,C
ensuite j'ai calculé le vecteur directeur des 2 droites u et v.
Donc j'obtient un premier système: n.u=0 et n.v= 0


et pour tangent a la sphère j'utilise la formule de la distance d'un point à un plan qui doit être égale au rayon de la sphère.

On obtient donc trois équations.

Voila donc j'aimerai savoir si la méthode est bonne ou pas car avec les équations je tombe sur des 0=0 :ptdr: donc soit la methode n'est pas bonne soit mes calculs sont faux.

:help:

Bonjour

Une idée sur une solution par construction je prends le plan z=0 moyennant une petite translation tu vas te retrouver ensuite tu prends les droites y=1 et z=1 et y=-1 et z=-1 je te laisse la rédaction à finir, tu peux facilement trouver la sphère.
Bonne continuation

[matheyo]

facilement trouver la sphère.

dsl je n'est pas été assez clair mais la sphère est donnée :lol3:

[picasso42]

Bonjour

Une idée sur une solution par construction je prends le plan z=0 moyennant une petite translation tu vas te retrouver ensuite tu prends les droites y=1 et z=1 et y=-1 et z=-1 je te laisse la rédaction à finir, tu peux facilement trouver la sphère.
Bonne continuation

L'idée de ton problème est liée au fondamentaux de la géométrie euclidienne tu peux t'aider d'un schéma ensuite tu pourras rédiger une sphère peut s'obtenir en superposant deux plans formés de cercle dont le rayon est le même, une fois que tu t'es convaincu de cette représentation tu déduis moyennant éventuellement des translations la solution de ton problème. J'espère que cette fois tu vas t'en sortir dans tes équations ...

[laya]

L'idée de ton problème est liée au fondamentaux de la géométrie euclidienne tu peux t'aider d'un schéma ensuite tu pourras rédiger une sphère peut s'obtenir en superposant deux plans formés de cercle dont le rayon est le même, une fois que tu t'es convaincu de cette représentation tu déduis moyennant éventuellement des translations la solution de ton problème. J'espère que cette fois tu vas t'en sortir dans tes équations ...

C'est quoi ce charabia ?

[matheyo]

L'idée de ton problème est liée au fondamentaux de la géométrie euclidienne tu peux t'aider d'un schéma ensuite tu pourras rédiger une sphère peut s'obtenir en superposant deux plans formés de cercle dont le rayon est le même, une fois que tu t'es convaincu de cette représentation tu déduis moyennant éventuellement des translations la solution de ton problème. J'espère que cette fois tu vas t'en sortir dans tes équations ...

j'ai un peu de mal à te suivre :hein:

[Doraki]

on a -2b-b+3b=0 d'où 0=0 :ptdr:
en faite il me manquerai une 3eme équation -_-''

tout à fait, mais 0=0 ne veut pas dire que a=b=c=0.

Tu as trouvé que ton système est équivalent à "a=b ; c= -3b ; 0 = 0", c'est à dire équivalent à "a=b ; c = -3b".
Donc tous les triplets (a,b,c) tels que a=b et c= -3b devraient être solution de ton système.
Eh ben il y en a plein, dont plein qui ne sont pas nuls.

[matheyo]

en effet :zen:

et du coup je remplace dans la troisième équation (tangence à la sphère ): 2a+b+d=2racine(a²+b²+c²) avec r=2 et O centre de la sphère (2,1,0) avec a=b et c=-3b

d'où je dois résoudre:

2b+b+d= 2 racine(b²+b²+(-3b)²)
3b+d=2racine(11b²)
d'ou
35b²-6bd-d²=0

et je retombe donc sur une équation du 2nd degrés c'est ça non ?

[Doraki]

3b+d=2racine(11b²)
d'ou
35b²-6bd-d²=0

Moi j'aurais dit d'où d/b = (-3+2racine(11)).
(et sans oublier l'autre solution d/b = (-3-2racine(11))).

Quand t'as une équation de plan ax+by+cz+d = 0, tu peux multipler a,b,c,d tous par une même constante non nulle, ça donne une autre équation du même plan.
Comme tu t'intéresses au plan et pas à l'équation, tu cherches (a,b,c,d) à une multiplication près.
Donc c'est pas tellement les valeurs particulières de a,b,c,d qui sont importantes, mais ce sont les rapports a/b, a/c, a/d (ou bien a/b, c/b, d/b).

[matheyo]

Moi j'aurais dit d'où d/b = (-3+2racine(11)).
(et sans oublier l'autre solution d/b = (-3-2racine(11))).

d'où vient la 2eme solution ?

Comme tu t'intéresses au plan et pas à l'équation, tu cherches (a,b,c,d) à une multiplication près.
Donc c'est pas tellement les valeurs particulières de a,b,c,d qui sont importantes, mais ce sont les rapports a/b, a/c, a/d (ou bien a/b, c/b, d/b).

je t'avoue que là je comprend pas :hum: il faut bien que je trouve l’équation d'un plan donc il faut bien que je définisse les coefff a,b,c,d ? et je ne vois pas du tout à quoi va me servir les rapports pour trouver le plan :doh:

[Doraki]

Parceque c'est pas exactement 2b+b+d= 2 racine(b²+b²+(-3b)²) que tu dois résoudre, mais |2b+b+d| = 2 racine(b²+b²+(-3b)²) (ou encore (2b+b+d)² = 4*(b²+b²+(-3b)²))

La distance d'un point P au plan d'équation OM.n + d = 0 vaut |OP.n + d| / ||n|| :

En effet si on appelle Q le projeté de P sur ce plan, on a PQ = k*n et OQ.n + d = 0,
donc OP.n + d = - PQ.n = -k*(n.n).
Donc PQ² * (n.n) = PQ.PQ * (n.n) = k²*(n.n)² = (OP.n + d)²

Donc tu te retrouves à devoir résoudre 4 * (n.n) = ((2,1,0).n + d)² = (2b+b+d)²,
c'est à dire 44b² = (3b+d)².


Tu ne dois pas définir a,b,c,d ; tu dois trouver des valeurs pour a,b,c,d qui marchent (il y en a plein).
Par exemple tu pourrais trouver a=1 b=2 c=3 et d=4 ou a=2 b=4 c=6 et d=8.
Mais ces deux solutions donnent deux équations (différentes) du même plan, donc ces deux solutions reviennent à la même chose (parce qu'elles sont proportionnelles).

Ou sinon tu peux fixer une solution particulière pour le vecteur n (c'est à dire choisir une solution quelconque explicite pour a,b,c qui marche. Avec des vrais nombres concrets. Par exemple a=1 b=2 c=3, si ça marchait), puis une fois que tu as décidé de ces 3 valeurs, il reste à trouver les 2 valeurs possibles de d avec l'équation 4*(n.n) = ((2,1,0).n + d)².
Tu n'y perds rien parceque les solutions que tu aurais avec des autres valeurs pour le vecteur n (puisque tu peux multiplier n par n'importe quel réel non nul ça reste un vecteur normal au plan), ben ça donnera des équations (différentes certes) des mêmes plans que ceux que t'as trouvés avec le n que t'as choisi.

[matheyo]

je crois que j'ai compris,

donc avec a=b et c=-3b et d/b = (-3+2racine(11)) ou d/b = (-3-2racine(11)))

on peut tirer les rapports a/b=1 c/b=-3 et d/b = (-3+2racine(11)) ou d/b = (-3-2racine(11)))


d'où mon équation du plan donnerai quelque chose du genre x+y-3z -3+2racine(11) = 0
ou x+y-3z -3-2racine(11) = 0