PrbolémeS Analyse

[dragofeu]

Salut;
J'ai eu mal à resoudre ces quelques exercices et les DS se raprochent!! j'ai besoin de l'aide ici!!
(Je suis en 1ére année MPI)

Serie-1.jpg:

Serie-1-1.jpg:

C'est urgent, et merci d'avance.

[girdav]

Peux-tu nous dire plus précisément ce qui te pose problème ?

[busard_des_roseaux]

Hi!

1ère feuille d'exo (de mémoire)

f(0)=a0 < 0
lim f(x)= +oo quand x tends vers +oo
d'où f(x)>2 si x>A

d'après le TVI , f s'annule sur ]0,A]

exo2
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f(x)>A si |x|>B
f continue, admet un minimum m sur le compact [-B;B]
l'ensemble des images f(R) est minoré par inf(A,m)
l'inf est un min car f est continue et R est localement compact.
tu peux donc trouver une suite de points qui converge vers l'inf.


exo3, feuille 1

j'imagine qu'il faut trouver a tel que le numérateur s'annule en x=1 et x=-1
ce qui donne une condition nécessaire.

[busard_des_roseaux]

feuille 2, exo 9

encore du TVI. considère le comportement de cos(x) à l'infini et f(0).
il s'agit de trouver deux images telles f(a)f(b)<0

[busard_des_roseaux]

feuille 2, exo 10

on écrit la continuité uniforme

pour tout b>0 , il existe a>0 tel que
si |x-y|< a alors |f(x)-f(y)|
le truc est de découper l'intervalle [0,|x|] en segments de diamètres sufisamment petits
pour appliquer la continuité uniforme

il existe n tel que
na <= |x| < (n+1) a (Archimédianéité)


|f(x)| <= |f(0)|+(n+1)b
en appliquant l'inégalité triangulaire sur le trajet 0,x1,x2...
sur le dernier segment |f(x)-f(xn)| <= b
mais n <= |x|/a. conclue.

[dragofeu]

Enonce: Soit f : [0, 1] ---> [0, 1] continue. Montrer que f admet un point fixe.

Corrigee: Soit g: [0, 1] --> R définie par g(x) = f(x) ;) x. Un point fixe de f est une valeur
d’annulation de g.
g est continue, g(0) = f(0) => 0 et g(1) = f(1) ;) 1 <=0 donc, par le théorème des
valeurs intermédiaires, g s’annule.

Ce que j'ai pas compris est la relation d'ordre g(0) = f(0) => 0 et g(1) = f(1) ;) 1 <=0

car je trouve que g(0) = f(0) = 0 et g(1) = f(1) ;) 1=0???

[Sylviel]

Tu te trompes : c'est g(0) = f(0)-0 = f(0) >= 0 (et oui, f est à valeur dans ...)
et par ailleurs g(1) = f(1) - 1 <+ 0 (même raison)

[dragofeu]

j'ai pas bien compris!