Problème de dérivée

[twatila]

Bonjour,
j'ai un petit problème pour connaitre le signe de la dérivée de f(x)=(x^n)/(exp(x)-1) sachant que f est définie sur R* et n un entier naturel different de 0
je dérive et je trouve f'(x)=[n*x^(n-1)*(exp(x)-1)-(x^n)*exp(x)] / [(exp(x)-1)^2]
et là j'ai un peu de mal, je suppose qu'il faut factoriser puis donner le signe suivant si n est pair ou impair, mais je n'y arrive pas, je suis bloqué :mur:
pourriez vous m'aider s'il vous plait?

[XENSECP]

Tu peux factoriser par x^(n-1) déjà... Ensuite ce sera beaucoup + light ;)

[twatila]

oui j'y avais pensé mais ca ne m'a pas tellement avancé...
cela donne x^n-1[n(exp(x)-1)-x*exp(x)] en laissant tomber le dénominateur qui est positif

[leoozen]

(erreur, excusez moi je me suis trompé dans mon post)

[XENSECP]

Bah si ! Maintenant tu étudies la fonction qui est dans la parenthèse :D

[twatila]

désolé mais c'est là que je coince !
je n'arrive pas à trouver le signe de n(exp(x)-1)-x*exp(x)

[XENSECP]

Tu étudies cette fonction justement : n(exp(x)-1)-x*exp(x)

dérivée, tableau de variations et signes si possible !

[twatila]

ok, je vais essayer. merci de ton aide

[twatila]

désole, j'ai toujours un petit problème,
quand je dérive, je tombe sur exp(x)*(n-1-x)
cela donne une dérivée positive de - l'infini jusqu'à n-1 puis négative de n-1 à +l'infini
seulement cela ne donne pas le signe de la fonction n(exp(x)-1)-x*exp(x). j'ai remarqué que la fonction s'annule en 0 donc elle est négative de -l'infini à 0 puis positive jusqu'à la deuxieme valeur pour laquelle n(exp(x)-1)-x*exp(x)=0 et c'est cette valeur que je n'arrive pas à trouver

[XENSECP]

Valeur de la fonction en x = n-1 ? Parce que si c'est < 0 alors la dérivée est toujours négative :)

[twatila]

c'est positif :mur:
et il y a une valeur pour laquelle la fonction n'annule dans [n-1;+inf[ puisque la limite quand x tend vers +infini est -infini

[XENSECP]

Hum pas si simple !

En vrai on te demandait explicitement de faire ce calcul de dérivée et tout ?

[twatila]

bah il fallait le tableau de variation de f(x)=(x^n)/(exp(x)-1)
donc le signe de la dérivée f'(x)=[n*x^(n-1)*(exp(x)-1)-(x^n)*exp(x)] / [(exp(x)-1)^2] càd le signe de x^n-1[n(exp(x)-1)-x*exp(x)] le signe de x^n-1 n'est pas dur à trouver mais il reste le signe de n(exp(x)-1)-x*exp(x)

[twatila]

et même après étude de la dérivée de n(exp(x)-1)-x*exp(x) je n'arrive pas à trouver son signe