Problème sur un exercice

[Alex-M2000]

Bonjour, voilà j'ai un exo à faire et je suis en difficulté. Le voilà:

Dans un repère orthonormal, P est la parabole d'équation y = x² et M est le point de coordonnées (a;b) , avec a et b réels.

Question: Discuter, en fonction de a et b, le nombre de tangentes a P passant par M.

Merci

[XENSECP]

Déjà quelques réflexions ?

[Alex-M2000]

Oui. Déjà je pense qu'il y en a soit une, soit 0. Car je pense que cela dépend de la position du point M:
- soit à "l’extérieure" de la parabole -> donc 1 tangente
- soit à "l'intérieure" de la parabole -> donc 0 tangente

J'en suis là

[XENSECP]

Pas mal déjà.

Effectivement si le point est à l'intérieur alors pas de tangente...

Je te ferais remarquer qu'il y a des points qui ont 2 tangentes :)

Par exemple (0,-1) :)

[Alex-M2000]

Ah oui exact, je remarque que tout les points d’abscisse x=0 et y < 0 ont deux tangentes. Mais après je n'ai pas d'explication mathématique. J'ai que ce que je vous ai dis dans le message précédent.

[Alex-M2000]

De plus, les point d'ordonné y=0 ont deux tangentes aussi. Celle horizontale et celle qui coupe l'axe des abscisses.

[XENSECP]

Je pense que tu viens de répondre à la question.

Tu peux prouver mathématiquement tes impressions mais à mon sens on te demande pas une grosse démonstration générale ;)

[Alex-M2000]

Très bien merci beaucoup. C'est donc les seules réponses?
Et dernière question: n'y a t'il pas un moyen de préciser avec un moyen mathématique quelles sont les réels a et b tels que M soit à l'intérieur de la parabole? ( plutôt que dire a "l'intérieure" ? )

Merci :)

[XENSECP]

y > x² quoi ? :)

[Alex-M2000]

En effet, c'est ce qu'il me manquer. Il n'y a pas de tangente en M (a;b) si b > a²
Merci beaucoup !