TS -> bloqué à une question sur un exercice sur les suites !

[misterg94]

Re-salut à tous !
Voici un autre exercice sur les suite où je suis bloqué à une question (la dernière...).

Meri à tous pour votre aide !

On considère le suite (Un) définie pour tout entier n superieur ou egal à 1 par : U1=1 et Un+1=((n+1)/(2n))Un.

1/ Démontrer par récureence que, pour tout nsuperieur ou égal à 1, Un strictement superieur à 0.

*Initialisation, pour n=1

U1=1, donc U1 strictement superieur à 0.
donc "Un strictement superieur à 0" est vraie.


*Hérédité

Un+1= ((n+1)/(2n))Un
or comme n superieur ou égal à 1, (n+1)/(2n) est toujours positif
et on a démontré que Un strictement superieur à 0.
Donc le produit de deux nombres positifs est obligatoirement positif, donc "Un+1 strictement positif à 0" est vraie.

On peut conclure par récurrence que pour tout n superieur ou égale à 1, "Un superieur ou egal à 0" est vraie.


2/Déterminer les quatres premiers termes de la suite, puis démontrer qu'il s'agit d'une suite décroissante.

U1=1
U2=U1+1=((1+1)/(2x1))U1=1
U3=U2+1=((2+1)/(2x2))U2=3/4
U4=U3+1=((4+1)/(2x4))U4=1/2

Pour étudier la monotomie de la suite on étudie le signe de (Un+1)/(Un) par rapport à 1.

(Un+1)/(Un)=(((n+1)/(2n))Un)/Un)=(n+1)/(2n)
Or 2n strictement superieur à (n+1) car 2n strictement superieur à 0 avec n superieur ou egal à 1,
donc (n+1)/(2n) strictement inferieur à (2n)/(2n)
(n+1) strictement inferieur à 1.

Donc la suite est décroissante.


3/ Soit (Vn) la suite définie pour tout entier n superieur ou égal à 1 par : Vn=Un/n.

a/ Démontrer que la suite (Vn) est une suite géométrique dont on précisera raison et premier terme.

Vn+1=(Un+1)/(n+1)= (((n+1)/(2n))Un)/(n+1))=(n+1)/2n)xUnx(1/(n+1))
Vn+1=(Un/n)x(1/2)

La suite Vn est bien une suite géométrique de raison 1/2.


b/ Exprimer Vn, en fonction de n, et en déduire une expression de Un, en fonction de n. Que vaut U10 ?


(bloqué à cette question)

[zebdebda]

Pour en fonction de n, utilise la définition de la suite géométrique.

[misterg94]

Pour en fonction de n, utilise la définition de la suite géométrique.

ok donc Vn+1=Vnxk
où k est la raison, donc :

Vn+1=Vnx(1/2)
Vn=(Vn+1)Un/(1/2)
Vn=((Un+1)/n)x(2/1)xUn
Vn=(2Un+2)/nxUn

Je ne pense pas que ça soit bon...

[zebdebda]

arf non dommage c'était l'autre définition à laquelle je pensais :

si est une suite géométrique de premier terme et de raison q
alors pour tout n

Ensuite pour utilise que

[misterg94]

arf non dommage c'était l'autre définition à laquelle je pensais :

si est une suite géométrique de premier terme et de raison q
alors pour tout n

je vais essayer ça tout de suite !

[misterg94]

donc si j'ai bien compris, ici Vn à pour premier terme V1=1, donc :
Vn=V1x(1/2)^n
Vn=1x(1/2)^n
vn=(1/2)^n

[zebdebda]

donc si j'ai bien compris, ici Vn à pour premier terme V1=1, donc :
Vn=V1x(1/2)^n
Vn=1x(1/2)^n
vn=(1/2)^n

non car la formule n'est valable que pour premier terme d'indice 0. Mais il est très simple de transférer cette formule avec le premier terme au rang 1 :

tu fais : x
= x x
= x

[misterg94]

non car la formule n'est valable que pour premier terme d'indice 0. Mais il est très simple de transférer cette formule avec le premier terme au rang 1 :

tu fais : x
= x x
= x

d'accord je vais essayer, mais je doit bien remplacer V1, c'est bien ca ? non ?

[zebdebda]

oui tout simplement : c'est la même chose que tu as fais avant mais avec puissance (n-1) au lieu de n.

[misterg94]

donc à la fin je trouve Vn=(1/2)^(n-1)

[zebdebda]

oui c'est juste.
Tu ne devrais pas avoir de problème pour terminer.
Si c'est le cas n'hésite pas.

[misterg94]

non car la formule n'est valable que pour premier terme d'indice 0. Mais il est très simple de transférer cette formule avec le premier terme au rang 1 :

tu fais : x
= x x
= x

mais je ne comprend pas pourquoi on multiplie par q^(n-1)xq :
par exemple si j'aurais eu que le dixième terme ca aurait fait : Vn=V10x(1/2)^(n-10) ???

[misterg94]

oui c'est juste.
Tu ne devrais pas avoir de problème pour terminer.
Si c'est le cas n'hésite pas.

sinon exprimer Un en fonction de n ca fait :
Vn=Un/n
Un=Vnxn
Un=((1/2)^(n-1))xn

[zebdebda]

oui c'est juste.

[misterg94]

oui c'est juste.

j'ai recaluclé les 4 premiers termes de la suite Un et je retrouve bien les mêmes résultats que la question deux !!!!

pour U10 ca fait :
U10=((1/2)^(10-1))x10
U10=((1/2)^9)x10 ---> je doit laisser ce resultat sous cette forme là ?

En tout cas merci beaucoup pour votre aide !!!

[zebdebda]

tu peux déjà le simplifier un peu :


comme tu as des puissances importantes tu as raison il ne faut pas faire le calcul

[misterg94]

encore merci !!!

[zebdebda]

Pas de quoi :we: