Matrice diagonalisation espace propre

[Bertrand123]

Bonjour à tous, je cherche à résoudre le problème suivant (mes notions sur les matrices sont encore très limitées) :

A tout nombre complexe z=a+ib, on associe la matrice M(z)=(a -b
b a)
1) on me demande de calculer les valeurs propres complexes; ç'a je pense que c'est Ok, je trouve z1=a+ib et z2=a-ib

2) ensuite on me demande de dire si M(z) est diagonalisable; peut on y arriver sans calculer les espaces propres ? Pour ma part j'ai utilisé le corrolaire d'un théorème qui dit que "si une matrice de dimension "dxd" a "d" valeurs propres alors on peut dire qu'elle est diagonalisable". Est ce que cela est bon puisque la matrice concernée, de dimension 2x2, a 2 valeurs propres ?

3) Enfin, on me demande de déterminer une base, indépendante de a et b, de chaque sous espace propre. Et là je bloque.

Merci d'avance si quelqu'un peut m'aider.

[arnaud32]

ca depend tout de meme de a et b
que se passe t til si b= 0? as tu toujours deux vp? peux tu toujours diagonaliser la matrice?

[Bertrand123]

ca depend tout de meme de a et b
que se passe t til si b= 0? as tu toujours deux vp? peux tu toujours diagonaliser la matrice?

j'ai oublié la question est pour tout b différent de 0. Peux tu être plus explicite STP ? Merci.

[arnaud32]

si b=0 ta matrice est deja diagonale!
si b<>0 tu as deux valeurs propres distinces en dim 2 donc ton argument est parfaitement juste et tu peux conclure.

apres pour b=0 c'est facile (tous les vecterus sont propres)
sinon, tu dois resoudre AX=vp*X et chercher une solution independante de a et b

[Ben314]

Salut.
Juste une remarque : La question

...dire si M(z) est diagonalisable...

est extrêmement ambigüe dans le contexte présent car, vu que ta matrice 2x2 de départ est, par construction, à coefficients dans R, on peut concevoir la question comme "dire si M(z) est diagonalisable dans Mn(R)" cas dans lequel la réponse est non (sauf si b=0).

Mais, vu que l'exercice demande de calculer les valeurs propres complexes, on peut aussi se dire que la question est à comprendre sous la forme "dire si M(z) est diagonalisable dans Mn(C)" cas dans lequel la réponse est systématiquement oui.

A mon avis, l'idéal, c'est de répondre aux deux questions possibles...


Edit : en fait, vu la question 3), il semblerait qu'il faille interpréter la question sous la forme "dire si M(z) est diagonalisable dans Mn(C)" mais je pense qu'il faut absolument signaler dans ta réponse que c'est une des interprétation de la question posée.

[Bertrand123]

si b=0 ta matrice est deja diagonale!
si b0 tu as deux valeurs propres distinces en dim 2 donc ton argument est parfaitement juste et tu peux conclure.

apres pour b=0 c'est facile (tous les vecterus sont propres)
sinon, tu dois resoudre AX=vp*X et chercher une solution independante de a et b

Merci Arnaud, porrais tu m'aider à résoudre AX=vp*X stp ? Merci, je ne suis pas trop fort en matrice.

[Bertrand123]

Salut.
Juste une remarque : La question est extrêmement ambigüe dans le contexte présent car, vu que ta matrice 2x2 de départ est, par construction, à coefficients dans R, on peut concevoir la question comme "dire si M(z) est diagonalisable dans Mn(R)" cas dans lequel la réponse est non (sauf si b=0).

Mais, vu que l'exercice demande de calculer les valeurs propres complexes, on peut aussi se dire que la question est à comprendre sous la forme "dire si M(z) est diagonalisable dans Mn(C)" cas dans lequel la réponse est systématiquement oui.

A mon avis, l'idéal, c'est de répondre aux deux questions possibles...


Edit : en fait, vu la question 3), il semblerait qu'il faille interpréter la question sous la forme "dire si M(z) est diagonalisable dans Mn(C)" mais je pense qu'il faut absolument signaler dans ta réponse que c'est une des interprétation de la question posée.

Merci beaucoup Ben pour ta remarque, ce n'est pas écrit mais je pense aussi que c'est dans Mn(C) qu'il faille répondre.

[arnaud32]

tu dois resoudre
ax-by = l*x
bx+ay = l*y
ou l est l'une des vp

[Bertrand123]

tu dois resoudre
ax-by = l*x
bx+ay = l*y
ou l est l'une des vp

je n'ai pas de pb pour comprendre que AX=(ax-by
bx+ay) merci,

par contre pour AX=lX, et avec les vp calculées précedemment a+ib et a-ib, cela donnerait :

ax-by=(a+ib)X soit by+ixb=0
et bx+ay=(a+ib)y soit bx+iyb=0

je ne vois tjrs pas comment déterminer une base indépendante de a et b de chaque sous espace propre. Peux tu encore m'aider Stp ? Merci.

J'arrive au système suivant : si b différent de 0, on obtient ix+y=0 et x+iy=0
En fait, j'ai du mal au niveau du vocabulaire, quelle est la base et quel est le sous espace propre et comment formuler la réponse ? Merci.

[arnaud32]

by+ixb=0 ca donne y+ix=0
bx+iyb=0 ca donne x+iy=0
et ce sont les equations de deux droites!
ca tombe bien l'espace engendre par un vecteur non nul est une droite et donc tes deux espaces propres sont des droites
(1,-i) et (1,i) sont donc des vecteurs propres associes a tes vp

rq: tu peux aussi prendre (i,1) et (i,-1) etc ...

[Bertrand123]

by+ixb=0 ca donne y+ix=0
bx+iyb=0 ca donne x+iy=0
et ce sont les equations de deux droites!
ca tombe bien l'espace engendre par un vecteur non nul est une droite et donc tes deux espaces propres sont des droites
(1,-i) et (1,i) sont donc des vecteurs propres associes a tes vp

rq: tu peux aussi prendre (i,1) et (i,-1) etc ...

Merci pour ta réponse mais comment en déduit tu ces vecteurs propres (1,-i) et (1,i) ou (i,1) et (i,1) comment dois je formuler ma réponse à la question : "déterminer une base, indépendante de a et de b, de chaque sous espace propre" ? Je rappelle que je suis novice dans les matrices. Merci d'avance.

[arnaud32]

il y a une infinite de solutions.
tu choisis tes vecteurs propres en fixant x par exemple

[Bertrand123]

il y a une infinite de solutions.
tu choisis tes vecteurs propres en fixant x par exemple

D'accord merci beaucoup pour ta réponse je comprends maitenant mais concernant la formulation à la question exacte qui est posée dans l'énoncé, comment puis je l'exprimer ? Merci.