Barycentres et droites concourantes 1ere S

[dove]

bonsoir a tous,
voila je suis en 1ere S et comme je suis en vacances j'ai ouvert mon livre de math pour m'entrainer un peu.Mais je n'arrive pas a trouver la solution a l'exercice.voila l'enoncé:

soit ABC un triangle-I, J et K sont 3 points quelcquonques
on a : IB=(-1/2)IC
JA=(-2/3)JC
KB=(-3/4)KA (en vecteurs)

Et il faut prouver que (AI), (BJ) et (CK) sont 3 droites concourantes

J'ai deja chercher un peu et je pense qu'il faut utiliser I, J et K comme barycentres

merci a tous ceux qui m'aiderons

[Daragon geoffrey]

slt
à partir des égalités vectorielles de l'énoncé montre que les points I, J, et K appartiennent aux segments [BC], [AC] et [AB] !
on a par exemple : IB=(1/2)CI (vecteurs), en utilisant chasles, on obtient IB=1/2 (CB+BI) équiv à BC=3 BI (vecteurs), après simplification, qui traduit que le point I appartient au segment [BC] car situé o 1/3 à partir de B ! procède de même avec les otres points et montr ainsi qu'ils appartiennent aux segments indiquées qui implique que les 3 droites (AI), (BJ) et (CK) sont concourantes ! s que tu dois démontrer qu'elles concourantes en un même point ou pas ??? si oui, la démonstration prend une nouvelle dimension !

[dove]

ui effectivement il faut aussi trouver le point de concourence.ms en prouvant que I J et K appartiennent a ces differents segments on ne peut tjr pas savoir si lzs droites st concourantes?!?!nan?????

[rene38]

Bonsoir.

Une piste :
Dans le repère , calculer successivement :
les coordonnées de A, B, C, I, J, K ;
les équations des droites (AI) et (BJ) ;
les coordonnées du point L d'intersection de ces 2 droites.
Vérifier que ce point appartient à la droite (CK).

[dove]

ca me parait une bonne idee ms cmt faire pr trouver les equations des 2 droites?(ac le niveau 1ere S)

[rene38]

ca me parait une bonne idee ms cmt faire pr trouver les equations des 2 droites?(ac le niveau 1ere S)

Trouver une équation de la droite (AI) quand on a les coordonnées de A et I est un exercice de niveau 3ème !
A(0;0) I()
(AI) passe par l'origine A. Elle a donc une équation de la forme
I est sur (AI) donc et
(AI) a pour équation

[Daragon geoffrey]

reslt
ds ce cas, puisquil fo démontrer qu'elles ne sont concourantes qu'en un point , travaille ds la base vectorielle (A;AC;AB), et cherche les équations réduites des 3 droites concernées : un exemple : AI (vecteur) est un vecteur directeur de (AI), de plus son équation est de la forme y=ax+b, sachant que A(0;0) cherchons les coordonnées de I ds cette base : par chasles, AI(vecteur)=AB+BI, or ds la base, AB(0;1) et on a à partir des égalités vectorielles initiales BI=(1/3)BC, or ds la base vectorielle, B(0;1) et C(1;0), donc BC(1;-1) et comme 2 vecteurs sont égaux ssi leur coordonnées le sont, alors on a : BI((1/3);(-1/3)) d'où xAI=0+1/3=1/3, de même yAI=1-1/3=2/3 donc AI((1/3);(2/3)) équiv à I((1/3);(2/3)) et donc comme (AI) passe par A et I, tu résouts 1 syst. et tu trouves b=0 et a=2, d'où l'équation cherchée y=2x ! tu procède de la même manière pour les 2 otre droites et enfin tu montres qu'elles ne partagent qu'un seu point d'intersection ! @ +

[dove]

merci rene38 pour tte ces explications.je crois que vais pouvoir m'en sortir

[Daragon geoffrey]

ah, sui-je arrivé trop tard ???

[rene38]

Une autre approche, utilisant les barycentres partiels :

[url="http://www.maths-forum.com/showthread.php?t=15000"]http://www.maths-forum.com/showthread.php?t=15000[/url]