Equations Differentielles

[bennie80]

Bonjour. Je suis en BTS 2eme année niveau automobile.

Je suis bloqué à un exercice qui concerne les équations différentielles.

L'équation différentielle (E) : y''+4y'+5y = 0

on demande de résoudre cette équation différentielle (que j'ai réussi à faire par miracle^^).
on a delta= -4 donc 2 solutions complexes conjuguées.
ce qui me donne r1 = -2+i
et comme c'est conjuguée , r2 = -2-i
donc les solutions de (E) sont les fonctions définies sur R par : y(x) = (A.cos x + B.sin x).e-2x

Maintenant c'est là que ça se complique. On me dit de déterminer la fonction f solution particulière de (E) vérifiant les conditions : f(0)=1 et f '(0) = -2

Mais comme l'équation (E) n'a pas de second membre je n'y arrive pas. Pouvez vous me donner un petit coup de pouce?

merci d'avance

[Black Jack]

A partir de r1 = -2+i et r2 = -2-i

Les solutions de (E) sont : y = e^(-2x) * (A.sin(x) + B.cos(x)) avec A et B des constantes rélles.


Il te reste à trouver les valeurs de A et B telles que avec f(x) = e^(-2x) * (A.sin(x) + B.cos(x)), on aie f(0) = 1 et f '(0) = -2

...

:zen:

[bennie80]

donc il faut que je fasse directement f(0), et ensuite que je la dérive?

[bennie80]

enfin avant faut que je trouve A (dans mon exo c'est plutot Gamma) et B (mu), mais je ne vois pas comment.

[Black Jack]

f(x) = e^(-2x) * (A.sin(x) + B.cos(x))
f(0) = 1

e^0 * (A.sin(0) + B.cos(0)) = 1
1 * (0 + B) = 1
B = 1
*****
f(x) = e^(-2x) * (A.sin(x) + cos(x))
f '(x) = ...

f '(0) = ...

Et avec f '(0) = -2 tu trouveras la valeur de B.

:zen:

[bennie80]

bon j'ai refait f(0) = 1 et je trouve bien B= 1

Ensuite pour le A :
f '(x) = -2e^(-2x) . (A.cos x - B.sin x)
f '(0) = -2

donc ça fait : -2e^(0) . (A.cos 0 - B.sin 0) = -2
ce qui fait à la fin A = 1

Est ce correct?^^

[Black Jack]

bon j'ai refait f(0) = 1 et je trouve bien B= 1

Ensuite pour le A :
f '(x) = -2e^(-2x) . (A.cos x - B.sin x)
f '(0) = -2

donc ça fait : -2e^(0) . (A.cos 0 - B.sin 0) = -2
ce qui fait à la fin A = 1

Est ce correct?^^

L'expression de f '(x) n'est pas correcte.

f(x) = u.v avec u = e^(2x) et v = (A.sin x + cos x) (on sait déjà que B = 1)

f '(x) = uv' + u'v

...

:zen: