équations différentielles

[nonor2]

Bonjour tout le monde!

Comment peut-on trouver la solution générale d'une équation différentielle du type:

y-x^4*y'=(y^3)/4

Merci beaucoup pour votre aide !

Emma

[serge75]

Résolvons sur un intervalle ne contenant pas 0 (faute de quoi ton équation n'est pas résolue en y').
On limite en un premier temps la recherche aux solutions qui ne s'annulent pas, et on divise l'équation par y^3 ; on obtient alors :
(1/y²)-x^4*(y'/y^3)=1/4.
Tu poses alors la fonction auxilliaire z=1/y² de sorte que z'=-2y'/y^3 ; ton équation s'écrit :
z+((x^4)/2)z'=1/4.
Tu obtiens alors une équation linéaire du premier ordre que je te laisse résoudre, puis tu reviens à y (tes solutions ne s'annulent pas, donc sont de signe constant, ce qui t'amène à y=sqrt(1/z) ou -sqrt(1/z)).

En général on s'arrête là en remarquant que la fonction nulle est par ailleurs solution.
Si tu tiens absolument montrer que tu as TOUTES les solutions (et donc qu'il n'y a pas de solution qui s'annule mizapar la fonction nulle), il faut alors invoquer le théorème de Cauchy-lipschitz en montrant que tes solutions remplissent toutes les conditions initiales (t0,y0), ce qui prouve qu'il n'y en a pas d'autres.

[nonor2]

Merci beaucoup Serge !!!

Bonne journée.