Fonction

[skeatles]

Bonjour j'ai fait un Dm et j'aimerais savoir si mes réponses sont justes, voici l'énoncé et mes réponses:

F(x) est une fonction définie et dérivable sur R privé de -1, tel que f(x)= (-x²-3)/(2x+2)

1) Quelles sont les limites en +inf et -inf ? A droite et à gauche de -1 ? Peut-on en déduire la présence d'asymptotes ?
2) Calculer f ' (x).
3) Quel est le signe de f ' (x) ? Faire le tableau de variation de f(x).
4) Montrer que l'on peut écrire f(x)= (-x/2) + (1/2) - (2/(x+1)).
5) En déduire que la droite d'équation y= (-x/2) + (1/2) est asymptote à la courbe représentant f au voisinage de -inf et de +inf.
6) Quelle est l'équation de la tangente T à la courbe en x=0 ?

Voici mes réponses:

1) f(x) = (x(-x-(3/x))) / (x(2+(2/x))) = (-x-(3/x)) / (2+(2/x))
En +infini
Lim -x = -inf
x->+inf => Lim -x-(3/x) = -inf
Lim -3/x = 0 x->+inf
x->+inf
==> Lim f(x) = -inf
Lim 2/x = 0 x->+inf
x->+inf => Lim 2+(2/x) = 2
Lim 2 = 2 x->+inf
x->+inf

En -infini:
Lim -x = +inf
x->-inf => Lim -x-(3/x) = +inf
Lim -3/x = 0 x->-inf
x->-inf
==> Lim f(x) = +inf
Lim 2/x = 0 x->-inf
x->-inf => Lim 2+(2/x) = 2
Lim 2 = 2 x->-inf
x->-inf

En -1 négatif:
Lim -x²-3 = -4
x Lim f(x) = +inf
Lim 2x+2 = 0- x-1 ==> Lim f(x) = -inf
Lim 2x+2 = 0+ x>-1
x>-1

2) De la forme u/v avec u= -x²-3 , u'= -2x , v= 2x+2 et v'= 2
f '(x) = (-2x²-4x+6) / ((2x+2)²)

3) Dénominateur positif car c'est un carré.
Delta= b²-4ac = 64 = 8² ou x1= 1 et x2= -3
J'ai ensuite fait un tableau de signe, ou f ' (x) est positif sur ]-3,-1[u]-1,1[
f ' (x) est négative sur ]-inf,-3[u]1,+inf[
Puis comme f(x) n'est pas défini en -1, elle est donc décroissante sur ]-inf,-3[u]1,+inf[ et elle est croissante sur ]-3,-1[u]-1,1[.

4) f(x)= (-x/2) + (1/2) - (2/(x+1)) = ((-x+1)/2) - (2/(x+1))
= [ (-x+1)(x+1) - 2x2] / [2(x+1)]
= (-x²-x+x+1-4) / ( 2x+2)
= (-x²-3) / (2x+2)

5) Lim f(x) - ax+b = Lim ((-x/2)+(1/2)-(2/(x+1))+(x/2)-(1/2)) = Lim -2/(x+1) = 0
x->+inf x->+inf x->+inf
Puisque Lim f(x) - ax+b = 0, alors il existe une asymptote oblique de la forme ax+b qui
x->+inf est -(x/2)+(1/2)

6) y = f '(a) (x-a) +f(a)

f '(0) = 3/2
f(0) = -3/2
Donc y = 3/2x - 3/2

[Sa Majesté]

Salut

C'est tout bon
Quelques trucs cependant
1) Il faut écrire : quel que soit x différent de 0 et de -1, f(x) = (x(-x-(3/x))) / (x(2+(2/x))) = (-x-(3/x)) / (2+(2/x))
4) Il ne faut pas écrire "f(x)=" au début mais à la fin
5) Il manque des parenthèses : f(x) - (ax+b)

[skeatles]

Merci pour ces petits conseils =)
Bonne soirée !