Polynome irréductible

[nathanap]

Bonjour,
dans un sujet de concours on demande de montrer que si un polynôme P est irréductible dans K[X] avec K un sous-corps de C, alors ses 0 dans C sont tous simples
Voici le corrigé que j'ai trouvé sur internet :
"Soit P irréductible dans K[X] ; notons ;) le pgcd de P et P' . ;) est donc un diviseur de P de degré strictement inférieur à celui de P , par suite ;) = 1, etc."

Je ne vois pas du tout en quoi ;) diviseur de P de degré strictement inférieur à celui de P implique que ;) = 1, P n'est irréductible que dans K[X] ...
Il doit y avoir quelque chose qui m'échappe dans la démonstration.
Merci d'avance

[Finrod]

P et P' sont bien dans K[X], donc il n'y a pas de problèmes.

[nathanap]

?
je ne comprends pas bien :
si on prend le pgcd de P et P' dans K[X] à ce moment là il est bien égal à 1 mais ca ne sert à rien, on ne peut pas en conclure que P et P' sont premiers entre eux dans C
si on prend le pgcd de P et P' dans C alors je ne vois vraiment pas pourquoi il serait égal à 1

[nathanap]

ah remarque le pgcd est peut-être invariant par extension de corps
dans le cas de R ca à l'air de marcher puisque quand un complexe z est racine d'un polynôme réel son conjugué aussi du coup deux polynômes qui ont une racine complexe en commun ont le polynôme du second degré (x-z)(x-conjugué(z)) en commun ...

[nathanap]

ok la division euclienne est invariante par extension de corps donc l'algorithme d'euclide aussi et du coup le pgcd ;)