Equation de degré 3

[Keavin]

Bonjour,

Nouveau sur ce forum, je me présente rapidement, je suis un homme de 26 ans, actuellement en préparation d'un BTS CGO par le CNED (je travaille à côté), après avoir obtenu un DAEU A cette année.

Voilà pour les présentations et la mise en contexte, mon problème vient du fait que j'ai les cours du CNED, mais qu'ils n'ont pas mis de tutorat en ligne, du coup, je bloque sur la compréhension de la résolution de pôlynomes du 3 ème degré par identification.

En effet, déjà qu'est-ce que ça veut dire, "on ne sait résoudre que les équations du 3 ème degré, se ramenant facilement à un produit de facteurs du 1 er et second degré, on cherche une racine évidente et on factorise."

Je vous explique, j'ai très bien compris la phrase, ce que je ne comprends pas c'est qu'est-ce qui me permet de dire tiens, ce pôlynome, je peux le factoriser en produit de deux facteurs, mais pas celui-là?

Un exemple, dans mon livre on me donne: P(x) = 2x^3 - 8x² - 22x + 60

Une racine évidente: 2 (p.s: je l'ai trouvée bêtement, mais je ne sais pas comment on fait hormis essayer bêtement avec des valeurs quelconques)

1 ère question: Y a-t-il une méthode pour chercher les racines évidentes? Et dans quelle mesure est-ce qu'une racine est évidente ou non?

Continuons: Si 2 est une racine de P, alors je peux factoriser P en un produit de facteurs du premier et second degré, j'obtiens alors:

P(x) = (x-2) (ax² + bx + c) sachant qu'un produit de facteurs est nul SSI un des deux facteurs est nul.

Je continue ma factorisation, et j'obtiens:

(x-2) (ax² + bx + c) = ax^3 + bx² + cx - 2ax² - 2bx - 2c

ax^3 + bx² + cx - 2ax² - 2bx - 2c = ax^3 + (b-2a)x² + (c-2b)x - 2c

donc:

ax^3 + (b-2a)x² + (c-2b)x - 2c = 2x^3 - 8x² - 22x + 60

On identifie:

a = 2

b - 2a = - 8

c - 2b = - 22

- 2c = 60

alors,

a = 2

b = (-4)

c = -30

On peut donc écrire: (x - 2) (2x² - 4x - 30)

Ainsi on peut calculer le discriminant de l'équation du second degré et trouver les autres solutions en plus de notre racine évidente 2.

Le problème c'est que maintenant j'essaye de faire la même chose avec ce pôlynome et là, ça marche pas.

Q(x) = 3x^3 - 2x² + 5x - 26

Q (2) = 3(2)^3 - 2(2)² + 5(2) - 26

Q (2) = 0

donc 2 est là aussi une racine évidente de ce pôlynome, mais la factorisation me pose cette fois des problème et je ne sais pas pourquoi ça na marche pas cette fois.

En effet, on a:

Q(x) = (x-2) (ax² + bx + c)

on factorise (j'écris pas tout le détail) et on a:


(x-2) (ax² + bx + c) = ax^3 + (b-2a)x² + (c-2b)x - 2c

ax^3 + (b-2a)x² + (c-2b)x - 2c = 3x^3 - 2x² +5x -26

On identifie:

a = 3

b-2a = -2

c-2b = 5

c = -26

on a alors : a = 3; b = 4 et c = c-2b alors c vaut 13-8 = 5 sauf que c = -26

Voilà c'est ici que se trouve tout mon problème, pourtant à la base les deux pôlynomes ont une racine évident (2) la même "structure" et pour un la facto et l'identification donne un résultat et pas pour l'autre.

Si quelqu'un pouvez me montrer l'erreur, ou m'expliquer pourquoi dans le premier cas ça marche et pas dans le second ce serait très gentil.

Vous remerciant par avance de votre aide.

[Ericovitchi]

ben non 2 n'est pas une racine évidente de 2x² - 4x - 30 c'est pour ça que ta factorisation ne marche pas.

tu n'as qu'à les calculer normalement les racines, c.a.d avec le discriminant.
2x² - 4x - 30 = 2 (x-5) (x+3)

[Olympus]

Salut !

Pour les racines évidentes : http://en.wikipedia.org/wiki/Rational_root_theorem .

[Mortelune]

Ta as la bonne valeur de a et de b pour le polynôme où tu penses avoir un problème sauf que tu as 2c=-26 et que tu t'es peut être un peu emmêlé dans ton système mais ça marche bien.

[Black Jack]

P(x) = 2x^3 - 8x² - 22x + 60

Si tu trouves une racine évidente, par exemple 2, alors P(x) est factorisable par (x-2).
Il est facile (mais presque jamais enseigné, va savoir pourquoi) de triturer l'équation de départ pour faire apparaître le facteur (x-2)...
Comme ceci :


P(x) = 2x^3 - 4x² - 4x² + 8x - 30x + 60

P(x) = 2x²(x-2) - 4x(x-2) - 30x(x - 2)

P(x) = (x-2).(2x² - 4x - 30)

Et voila, en 2 lignes ce qu'il t'a fallu toute une page à trouver.

Ensuite :

P(x) = 2.(x-2).(x² - 2x - 15)

P(x) = 2.(x-2).(x² - 2x + 1 - 16)

P(x) = 2.(x-2).((x-1)² - 4²)

P(x) = 2.(x-2)(x-1-4)(x-1+4)

P(x) = 2(x-2).(x-5).(x+3)

Mais je me suis déjà fait tancer sur ce site en indiquant cette méthode ... car non habituellement enseignée.

:zen:

[Keavin]

Bonjour à tous,

Merci pour vos réponses, cependant, j'ai un peu de mal à comprendre certaines choses, en effet, hormis le lien wikipedia que m'a invité à regarder Olympus, pour moi une racine évidente était avant tout une racine qui sautait aux yeux, auquel cas, 2 en est une (puisque elle donne Q(2) = 0 ) dans Q(x) = 3x^3 - 2x² + 5x - 26, à partir de là, je ne comprends toujours pas pourquoi, ma factorisation, ne marche pas, alors qu'elle marche très bien dans P(x) = 2x^3 - 8x² - 22x + 60 (puisque ici aussi P(2) donne 0)


Si quelqu'un pouvait me faire les calculs ou m'expliquer (peut-être en développant) pourquoi dans un cas ça marche et pas dans l'autre.

Vous remerciant par avance.

[Black Jack]

Bonjour,

Nouveau sur ce forum, je me présente rapidement, je suis un homme de 26 ans, actuellement en préparation d'un BTS CGO par le CNED (je travaille à côté), après avoir obtenu un DAEU A cette année.

Voilà pour les présentations et la mise en contexte, mon problème vient du fait que j'ai les cours du CNED, mais qu'ils n'ont pas mis de tutorat en ligne, du coup, je bloque sur la compréhension de la résolution de pôlynomes du 3 ème degré par identification.

En effet, déjà qu'est-ce que ça veut dire, "on ne sait résoudre que les équations du 3 ème degré, se ramenant facilement à un produit de facteurs du 1 er et second degré, on cherche une racine évidente et on factorise."

Je vous explique, j'ai très bien compris la phrase, ce que je ne comprends pas c'est qu'est-ce qui me permet de dire tiens, ce pôlynome, je peux le factoriser en produit de deux facteurs, mais pas celui-là?

Un exemple, dans mon livre on me donne: P(x) = 2x^3 - 8x² - 22x + 60

Une racine évidente: 2 (p.s: je l'ai trouvée bêtement, mais je ne sais pas comment on fait hormis essayer bêtement avec des valeurs quelconques)

1 ère question: Y a-t-il une méthode pour chercher les racines évidentes? Et dans quelle mesure est-ce qu'une racine est évidente ou non?

Continuons: Si 2 est une racine de P, alors je peux factoriser P en un produit de facteurs du premier et second degré, j'obtiens alors:

P(x) = (x-2) (ax² + bx + c) sachant qu'un produit de facteurs est nul SSI un des deux facteurs est nul.

Je continue ma factorisation, et j'obtiens:

(x-2) (ax² + bx + c) = ax^3 + bx² + cx - 2ax² - 2bx - 2c

ax^3 + bx² + cx - 2ax² - 2bx - 2c = ax^3 + (b-2a)x² + (c-2b)x - 2c

donc:

ax^3 + (b-2a)x² + (c-2b)x - 2c = 2x^3 - 8x² - 22x + 60

On identifie:

a = 2

b - 2a = - 8

c - 2b = - 22

- 2c = 60

alors,

a = 2

b = (-4)

c = -30

On peut donc écrire: (x - 2) (2x² - 4x - 30)

Ainsi on peut calculer le discriminant de l'équation du second degré et trouver les autres solutions en plus de notre racine évidente 2.

Le problème c'est que maintenant j'essaye de faire la même chose avec ce pôlynome et là, ça marche pas.

Q(x) = 3x^3 - 2x² + 5x - 26

Q (2) = 3(2)^3 - 2(2)² + 5(2) - 26

Q (2) = 0

donc 2 est là aussi une racine évidente de ce pôlynome, mais la factorisation me pose cette fois des problème et je ne sais pas pourquoi ça na marche pas cette fois.

En effet, on a:

Q(x) = (x-2) (ax² + bx + c)

on factorise (j'écris pas tout le détail) et on a:


(x-2) (ax² + bx + c) = ax^3 + (b-2a)x² + (c-2b)x - 2c

ax^3 + (b-2a)x² + (c-2b)x - 2c = 3x^3 - 2x² +5x -26

On identifie:

a = 3

b-2a = -2

c-2b = 5

c = -26

on a alors : a = 3; b = 4 et c = c-2b alors c vaut 13-8 = 5 sauf que c = -26

Voilà c'est ici que se trouve tout mon problème, pourtant à la base les deux pôlynomes ont une racine évident (2) la même "structure" et pour un la facto et l'identification donne un résultat et pas pour l'autre.

Si quelqu'un pouvez me montrer l'erreur, ou m'expliquer pourquoi dans le premier cas ça marche et pas dans le second ce serait très gentil.

Vous remerciant par avance de votre aide.

...
a = 3

b-2a = -2

c-2b = 5

-2 c = -26
*****
c = 13
b = 4
a = 3

...

:zen:

[Keavin]

Ah merci black jack, et là je me dis quel con, je fais! Des cas comme ça, c'est pas rare, je suis très nul en algèbre car j'oublie toujours quelque chose ou je fais pas assez attention aux signes, etc.

Encore merci!