équation diffèrentielle tordue

[president]

Bonjour à tous,

je suis en possession d'une équation dynamique, et je cherche à la résoudre.
L'équation est du type :

soit x(t), une variable réelle positive fonction du temps.
La dynamique de x(t) est définie par :



je recherche un moyen d'évaluer x(t), sachant que le calcul peut se faire par discrétisation de t.

en vous remerciant,

[Ericovitchi]

C'est une équation à variable séparable comme on dit, donc qui s'écrit :

[president]

bonjour,

merci bien pour votre réponse

donc si j'ai bien compris...

je voulais résoudre :



et donc grâce à ce que vous énoncez, ce qui correspond à un changement de variable, je remplace le dt par votre expression, et je peux calculer la même intégrale, mais vis à vis d'une autre variable.

ce qui nous donne :



j'y suis? ou je n'ai rien compris ? :hum:

[arnaud32]

en fait au lieu d'exprimer x en fontion de t tu vas exprimer en fonction de x.

[Ericovitchi]

oui ça n'est pas un changement de variable, c'était juste dx/dt = ... réécris autrement.

Après, à partir de tu tires effectivement

qui te donne t fonction de x. Formule qui sera certainement dure à inverser en x(t).

Il faut donc que tu discrétises plutôt x que t si tu veux arriver à faire des calculs numériques avec ça.

[president]

message supprimé

[president]

merci pour vos réponses.

que représente le du ?

[Ericovitchi]

u est une variable muette. je l'ai appelé u pour ne pas la confondre avec x mais tu peux l'appeler comme tu veux. du est la différentielle. Dans une intégrale il y a toujours une différentielle.

[president]

ah, je vois que vous avez corrigé votre équation...
il y avait deux "du", et ça me troublait :)

ok, donc en utilisant l'équation en "du" : à chaque pas de "du", j'obtiens l'évolution de t par rapport à t0. Et dès que t est très proche du tf du problème initial, alors la somme des "du" utilisés est le x(tf) recherché?

j'imagine que pour résoudre cette intégrale, je dois chercher les zéros du dénominateur, puis faire une décomposition en éléments simples, et je devrais peut-être retrouver des formes dérivés d'arctangente ou ln.....

un peu comme ça?

[president]

Je résume mon problème :

Je souhaite calculer l'évolution de x(t) en fonction du temps. Or l'équation d'évolution de la variation de x(t) dépend de x(t). Il s'agit donc là d'une équation différentielle. Sous certaines hypothèses, j'arrive à simplifier mon équation comme suit :



Cela ressemble à une équation de type Riccati, qui avec un certain changement de variable peut se ramener à une équation de Bernoulli. Cependant, je ne peux la résoudre étant donné que je ne connais pas de solution particulière.

Cependant, on me propose ici d'utiliser la méthode de séparation des variables, il est ainsi possible d'exprimer le temps en fonction de la variation sur x avec l'équation suivante :



Je souhaiterais savoir maintenant ce que je dois faire pour résoudre celle-ci? :marteau:

en vous remerciant :lol3:

[arnaud32]

il faut te ramener a des fraction du type 1/(x-a)^n (selon les racines du polynome)

[president]

Bonjour et merci pour votre réponse,

en effet, j'ai deux racines réelles et positives.

je peux donc écrire :



et après?

[arnaud32]

apres tu reecrit ca sous la forme a/(x-u1)+b/(x-u2)
et la primitive de 1/(x-a) tu devrais la trouver.

[president]

tout à fait,

j'ai fait une décomposition en éléments simples,

et je peux donc mettre sous la forme : a/(x-u1)+b/(x-u2)

de plus, une primitive de a/(x-u1) est a.ln(x-u1)
et pour b/(x-u2) c'est b.ln(x-u2)

ce qui nous donne :



et maintenant comment j'obtiens l'évolution de x dans le temps?

[arnaud32]

tu peux regrouper les log deja et passer al'exp

[president]

bonjour,

merci pour votre réponse.

j'ai fait mes calculs jusqu'au bout ,et je ne parviens pas à trouver un bon résultat.

je cherche l'intégrale de :



je décompose alors :



j'ai vérifié ce résultat, il est correcte.
ensuite, je fais apparaître la dérivée du numérateur de chaque fraction, pour faire apparaître la dérivée d'une fonction logarithmique.

ainsi, je peux réaliser l'intégration comme suit :



ce qui nous donne :



je peux simplifier le logarithme en :




jusque là, pas d'erreur ? :hein:

[president]

je passe alors à l'exponentiel comme proposé précédemment (avec t0=0) :



ou encore :



ainsi :



maintenant, il s'agit de développer afin d'exprimer u en fonction de t :





d'où :



si quelqu'un peut me dire si je suis juste jusque là :we:

[arnaud32]

je n'ai aps fait le calcul dans la detail mais c'est de cette forme oui.

[president]

Merci pour votre réponse.

j'ai calculé la constante d'intégration, et j'obtiens :




Ce qui me permet de simplifier l'équation u comme :



et comme on peut le voir, à t=0, on a bien u=u0, la valeur initiale.
Mais lorsque t tend vers l'infini, le résultat converge vers u1. avec u1>u0

Le problème est que cette équation est normalement lentement divergente, vers des valeurs inférieures à u0.

pourquoi ça ne marche pas :triste:

[president]

il n'y a pas que moi qui essaye de résoudre ce genre d'équation quand même.... :mur:

personne pour me taper sur la tête :marteau: afin de me dire où j'ai fait une erreur?