DM : Nombres complexes

[lina-29]

Bonjour, on a étudié un peu les nombres complexes mais là cet exercice je bloque, j'ai quelques idées mais elles mènent à rien ...

Exercice :
PARTIE A:
Soit x un nombre réel non nul, soit z = xe
1) Suivant les valeurs de x, déterminer le module et un argument de z
2) Calculer sous forme algébrique

PARTIE B :
Soit théta E ]0,2[
On considère l'équation (E) : z² + 2(1-cos)z + 2(1-cos) = 0
1) Résoudre dans C cette équation
2) Soit . Etablir que 2isin = e^i - e^-i
3) Etablir que e^i - 1 = 2ie^i/2 sin /2
4) En déduire le module & un argument de chaque solution de (E)



Pour la partie A 1)
J'ai pensé que les arguments étaient différents suivant que x était positif ou négatil mais on inclue aussi x dans les formules ? Pour calculer le module on prend 1 ? J'hésite un peu ...

& du coup pour le 2) Je sais pas quoi faire avec la valeur de x ... Je dois la remplacer par 2010 ?


Pour la Partie B Là c'est le brouillard total
1) J'ai essayé de développer mettre d'un côté l'inconnu & rien & aussi de voir si on pouvait trouver des exponentielles blocage.
2) J'ai essayé avec des formules trigonométriques mais je sais pas. Comment arriver de cosinus à des sinus ?
& les autres aucune idées ...


Merci d'essayer de me débloquer un peu . ><

[Ben314]

Salut,
Pour la A)1), l'énoncé est trés clair :

1) Suivant les valeurs de x, déterminer le module et un argument de z

ce qui signifie que la réponse est être de la forme :
- Si x... alors le module de z est ... (dépendant peut-être de x) et l'argument de z est ... (dépendant peut-être de x)
- Si x... alors le module de z est ... (dépendant peut-être de x) et l'argument de z est ... (dépendant peut-être de x)
etc...
(en fait, ici, comme tu l'as déjà remarqué, il n'y a que deux "cas" à considérer : x0)

Pour le A)2), ben tu as du voir que, pour tout complexes U et V et tout entier n, on a (UV)^n=U^nV^n ce qui te dit que (x.exp(i.pi/4))^2010=...
ensuite, tu as du voir que (exp(?))^n=... ce qui permet d'écrire que...
enfin, la fonction t->exp(i.t)=cos(t)+i.sin(t) est 2.pi-périodique donc...

Pour le B) on te dit que theta est fixé donc, dans ton équation, c'est z que l'on cherche (les solutions vont sans doute dépendre de theta).
Vu sous cet angle, ton équation est de la forme az²+bz+c=0 où a,b,c sont "connus".
C'est donc une... que l'on résoud en utilisant ...

[lina-29]

Pour A) 1) Je pense avoir compris je trouve des modules égaux mais des arguments différents, il me semble qu'on avait vu ça en cours.

Pour A) 2) si je comprends bien faut élever x & e^i/4 à la puissance 2010 mais comment faire puisque x n'est pas une valeur fixe ?
& (exp(?))^n= cos n + i sin n ?
Je comprends pas tout là ...

Pour le B) J'y avais pas pensé du tout à une équation d'un trinome du coup j'ai fait un calcul de discrimant & du coup je trouve deux racines assez complexes -2(1-cos) - racine(4 - cos²) / 2 & -2(1-cos) + racine(4 - cos²) / 2

Pour la suite je galère, j'ai essayé avec differentes propriétés des exp mais comme alpla ou théta c'est pas quelque chose de fixe ...