Nombres complexes

[Tikoko]

Bonjour/Bonsoir,

J'ai un petit exercice à faire et je bloque complétement dessus :


(O;u;v) est un repère orthogonal du plan complexe. F est l'application du plan complexe dans lui-même qui au point M d'affixe z associe le point M' d'affixe
f(z) = (z/2)+(i[barre]z[/barre]/2)

1) Montrer que l'ensemble D des points M dont l'affixe z vérifie f(z) = z est une droite.

2)a) Montrer que le nombre (f(z)-z)/(1-i) est réel.

b) En déduire que M' appartient à la droite [indice]M[/indice] passant par M et de vecteur directeur u-v.

3)a) Montrer que pour tout nombre complexe z : f(f(z)) = f(z)

b) Déduire des questions précédentes que M' est le point d'intersection des deux droites D et [indice]M[/indice].

4) Caractériser géométriquement l'application F.

Ce que j'ai fait : RQ : z est le conjugué de z

2)b) [Développement raccourcis] (f(z)-z)/(1-i) = (i(z-z)-z+z)/2

donc on a Re(z) = (-z+z)/2 et Im(z) = (z-z)/2

z€R si Im(z) = 0 (z-z)/2 = 0 z = z donc z€R

Voila, merci à vous de me lire et de me répondre

[Sa Majesté]

Salut

1) Quels sont les z tels que f(z)=z ?
2b) L'idée est là mais je ne suis pas d'accord avec ton résultat

[Tikoko]

1) Heu ... désolé mais j'ai pas compris la question

2)b) Pourriez-vous me dire qu'est-ce qui est faux que je me corrige ? :)

[Sa Majesté]

1) La question est : Montrer que l'ensemble D des points M dont l'affixe z vérifie f(z) = z est une droite.
Donc il faut résoudre l'équation f(z)=z

2) Il faut refaire ton calcul

[Tikoko]

1) D'accord, donc je trouve :

f(z) = z (z+iz)/2 = z (z+iz-2z)/2 = 0 -z+iz = 0

Mais la je bloque

2)b) J'ai trouvé l'erreur, et j'ai refais mon calcul j'arrive alors à Im(z) = 1/(z-z) et après le raisonnement est le même.

[Sa Majesté]

1) D'accord, donc je trouve :

f(z) = z (z+iz)/2 = z (z+iz-2z)/2 = 0 -z+iz = 0

Mais la je bloque

Tu peux poser z= x+iy

[Tikoko]

Ah oui merci ! Donc je continue :

-x-iy+i(x-iy) = 0 <=> -x-iy+ix+y = 0 <=> y-x+i(x-y) = 0

Donc Re(z) = y-x et Im(z) = x-y ?

Mmh je doute, car je ne vois pas comment exploiter ces résultats :/

[Sa Majesté]

y-x+i(x-y) = 0
Or un nb complexe est nul ssi sa partie réelle et sa partie imaginaire sont nulles

[Tikoko]

Ca veut dire que x=y ? :doh:

[Sa Majesté]

Oui et donc ...

[Tikoko]

... que D est une droite ? et passant par l'origine non ?

[Sa Majesté]

Ben y=x c'est quoi ?

[Tikoko]

C'est f(x)=x

[Sa Majesté]

Non pas du tout
Je crois que tu as perdu le fil
Tu cherches l'ensemble des points M d'affixe z tels que f(z)=z
Tu trouves que les complexes z tels que f(z)=z sont de la forme x+iy avec y=x
Donc ...

[Tikoko]

Rholala je dois être sacrément abrutis aujourd'hui, je vois pas du tout pourtant je sens que c'est logique ... honte à moi :briques:

[Tikoko]

A part une droite passant par l'origine je vois vraiment pas ce que ca peut être :x

[Sa Majesté]

Oui c'est bien une droite qui passe par l'origine
Il suffit de la caractériser