Exo sur nombre complexe

[paulinev]

Bonjours j'ai un léger soucis avec l'exercice suivant :on considére l'equation (E)=z^4+z^3+z^2+z+1=0, on pose Z=z+(1/z)
1)Vérifier que 0 n'est pas solution de (E) et montrer que Z est solution de l'equation Z^2+Z-1=0
Alors oui 0 n'est pas solution ça il n'y a pas de problème et pour montrer que Z est solution je dois remplacer Z=z+(1/z), et dans se cas je doit retrouver la première équation mais je ne la trouve pas , je dois avoir un problème dans mon calcul !
SI quelqu'un peut m'aider merci beaucoup !

[Ericovitchi]

Au lieu de remplacer, le plus simple est de mettre z² en facteur dans z^4+z^3+z^2+z+1=0
z²(z²+z+1+1/z+1/z²) = 0
et puis remarquer que (Z²=(z+1/z)² = z²+1/z²+2

et du coup z²+z+1+1/z+1/z² s'écrit Z²-2 + Z +1 = 0 donc Z²+Z-1=0

[paulinev]

je vois merci beaucoup!!