Inversion

[Reynolds]

Bonjour j'ai quelque petites questions:
Soit I->

1) Déterminer l'image d'une droite passant par 0 privée de 0

Je trouve que sa correspond à a la meme droite, j'ai utilisé des rotations mais sa me semble faux car on me demande l'image d'un cercle et I°I(z)= Id, donc je pense que c'est un cercle

2) Déterminer l'image d'une droite ne passant pas par O

J'ai essayé avec des rotations et je ne trouve rien...

Enfaite j'ai du mal a aborder le problème, comment écrire une équation de droite dans le plan complexe et comment la transformer par l'inversion?

Merci d'avance

[benekire2]

Salut , quelle est l'équation d'une droite passant par (0,0) ? y=kx , tu peut pas en déduire une caractérisation complexe de cette droite ? Ensuite il te suffit de "faire passer à la machine" et de regarder ce que cela te donne.

[Reynolds]

Oai, mais je tombe alors sur un truc genre:

x'- = 0
y'- =0

Sa se rapproche d'une équation de cercle mais sa n'en ai pas une malheureusement.

[Doraki]

une équation de droite dans les complexes c'est une équation comme
avec a,b,c complexes.

Pour transformer ça en une équation de l'image par f du truc,
comme f(f(z)) = z, il suffit de remplacer z par f(z) :

z est dans f(D) f(z) est dans D f(z) vérifie l'équation de D.

Ensuite, pour voir que c'est léquation d'un cercle, il faut mettre en évidence que c'est sous la forme avec a complexe et b réel < 0.

[Pythales]

est équivalent à

[Reynolds]

Doraki je ne comprends pas vraiment t'as méthode, je trouve

Si z appartient a une droite privée de O, alors c nul
je trouve (za+bar(z))/zbar(z) (Désole c'est un mac je sais pas comment faire l'antislash)

Moi j'avais essayé avec z= x+ikx avec k réel
mais je ne trouve rien de conclant...

[Doraki]

Si z appartient a une droite privée de O, alors c nul
je trouve (za+bar(z))/zbar(z) (Désole c'est un mac je sais pas comment faire l'antislash)

Dans ce cas, l'équation de D est de la forme .
et donc l'équation de f(D) ou de est , donc en multipliant par , tu as , ce qui est l'équation initiale, donc on a bien que l'image d'une droite qui passe par 0 reste cette même droite.

[Reynolds]

Ok j'avais trouvé ce résultat en trouvant = avec une rotation basée sur le fait que la droite passe par 0 mais sa me semble louche,

Et pour la deuxième je mets un c alors?

Merci beaucoup

[Doraki]

bah oui la deuxième c'est pareil sauf que tu as un c qui est non nul dans l'équation de D.

[Reynolds]

Je trouve rien, je ne sais pas isoler z et ma constante?

[Pythales]

Mon message #5 montre que O,z et z' sont alignés...
Pour le 2, soit la droite
On pose et
En remplaçant par et par tu obtiens soit un cercle passant par O, dont le centre est sur la ppd à la droite menée de O
(résultat bien connu de l'inversion)

[Doraki]

Ah excuse-moi, j'me suis gourré.

L'équation d'une droite c'est , avec b réel.

Ce qui fait que après transformation, on trouve , soit .