Ex sur les nombres complexes

[adelinedebreten]

Bonjour

1) On pose z=x+iy , x€R, y€R
Mettre le nombre complexe Z=f(z)= (iz+1)/(iz(barre)-1) sous sa forme algébrique Z=X+iY où les réels X et Y dépendent des réels x et y.

2) Montrer que Z est imaginaire pur ssi x²-(y-1)²=0

3) En déduire que l'ensemble (E) des points M d'affixe z du plan tels que soit imaginaire pur est la réunion de 2 droites du plan, réunion à laquelle on doit enlever un point. Représenter cet ensemble dans un plan muni d'un repère orthonormé.

Alors mes réponses :

1) J'ai trouvé ((x²-y²+2y-1)/(x²+y²-2y+1)) + ((2yx-2x)/(x²+y²-2y+1))i
Est-ce bien cela ? C'est surtout pour la partie imaginaire que je ne suis pas sûre.

2) Est-ce que cela convient si j'écris ça ?
Pour que z soit imaginaire pur, il faut que (x²-y²+2y-1)/(x²+y²-2y+1) = 0
donc que x²-y²+2y-1 = 0
Or x²-y²+2y-1 = x² - (y-1)² = 0
Z est donc bien imaginaire pur ssi x² - (y-1)² = 0

3) Alors là par contre, je sèche complètement.... J'aurais besoin de votre aide.

Voilà
Si quelqu'un peut m'aider...
Merci d'avance

[Sa Majesté]

1) J'ai trouvé ((x²-y²+2y-1)/(x²+y²-2y+1)) + ((2yx-2x)/(x²+y²-2y+1))i
Est-ce bien cela ? C'est surtout pour la partie imaginaire que je ne suis pas sûre.

Oui c'est ça mais à ta place je ne développerais pas les carrés

2) Est-ce que cela convient si j'écris ça ?
Pour que z soit imaginaire pur, il faut que (x²-y²+2y-1)/(x²+y²-2y+1) = 0
donc que x²-y²+2y-1 = 0
Or x²-y²+2y-1 = x² - (y-1)² = 0
Z est donc bien imaginaire pur ssi x² - (y-1)² = 0

Il vaut mieux travailler avec des ssi
z est imaginaire pur ssi (x²-y²+2y-1)/(x²+y²-2y+1) = 0 etc

3) Alors là par contre, je sèche complètement.... J'aurais besoin de votre aide.

x² - (y-1)² est de la forme a²-b²

[adelinedebreten]

Merci pour ta réponse.

Alors l'ensemble (E) est la réunion de la droite d'équation y=x+1 et celle d'équation y=1-x.
C'est cela ?
Mais quel point faut-il enlever ?

Merci

[Ericovitchi]

le point (0,1) car il annule le dénominateur

[adelinedebreten]

Merci bcp !!