Bonjour à tous
J'ai la limite suivante à calculer :
lim(n->infini) intégrale de 0 à +infini de dt/(1+t^n)
Je suis désolée pour l'écriture, je ne sais pas comment on écrit en langage mathématique sur ce forum...
Merci d'avance pour votre aide !
Intégrale impropre
4 messages
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par Nightmare » 19 Sep 2010, 18:52
Pour avoir un développement asymptotique :
Je pose=\frac{1}{1+t^{n}})
. On peut partir de =\Bigsum_{k=0}^{i-1} (-1)^{k}t^{kn}+(-1)^{i}t^{in}f_{n}(t))
et^{i} t^{in}f_{n}(t)dt\|\le \Bigint_{0}^{1} t^{in}dt=\frac{1}{ix+1}\longrightarrow_{i\infty} 0)
d'oùdt=\lim_{i\infty} \Bigint_{0}^{1} \Bigsum_{k=0}^{i-1} (-1)^{k}t^{kn}dt=\Bigsum_{k=0}^{+\infty} \frac{(-1)^{k}}{kn+1})
et par le changement de variable
on a que dt=\Bigint_{0}^{1} f_{n}(x)x^{n-2}dx=\lim_{n\infty} \Bigint_{0}^{1}\Bigsum_{k=0}^{i-1} (-1)^{k}x^{kn+n-2}dx=-\Bigsum_{k=0}^{+\infty} \frac{(-1)^{k}}{kn-1})
d'où notre intégrale qui vaut=1+\Bigsum_{k=1}^{+\infty} (-1)^{k}\[\frac{1}{kn+1}-\frac{1}{kn-1}\]=1-2\Bigsum_{k=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{k}}{k^{2}n^{2}-1})
On a-1+2\Bigsum_{k=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{k}}{k^{2}n^{2}}=2\Bigsum_{k=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{k-1}}{k^{2}n^{2}(k^{2}n^{2}-1))
d'où-1+\frac{2}{n^{2}}\Bigsum_{k=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{k}}{k^{2}}\le \frac{2}{n^{2}(n^{2}-1))
et sachant que ^{k-1}}{k^{2}}=\frac{\pi^{2}}{12})
on obtient que =1+\frac{\pi^{2}}{6n^{2}}+O\(\frac{1}{n^{4}}\)})
.
Au passage, le théorème des résidus permet de calculer l'intégrale et obtenir que})
.
:happy3:
Je pose
et
d'où
et par le changement de variable
d'où notre intégrale qui vaut
On a
d'où
Au passage, le théorème des résidus permet de calculer l'intégrale et obtenir que
:happy3:
par jujumimiboss » 19 Sep 2010, 19:03
merci beaucoup pour ta réponse détaillée nightmare ! mais je n'ai jamais vu ce "théorème des résidus" :(
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