Yet Another Équation Diophantienne

[pepper]

Bonsoir à tous,

Premiers pas sur votre forum, merci pour votre indulgence^^

Alors voila, un problème sur lequel je sèche radicalement.
Si l'un d'entre vous avait une bonne idée qui me permettait de reprendre la marche, j'en serais très heureux.

Il s'agit de démontrer (ou de réfuter) la conjecture suivante :

Soit n un entier naturel positif.
Soit une suite finie de n + 1 entiers naturels tels que :

et soit un entier naturel positif .
L’équation :

A pour unique solution :

A vous..
Pepper

[Doraki]

C'est normal de sécher sur la conjecture de Collatz.

Je peux pas t'aider.

[pepper]

Comment fais-tu le lien ?

[Doraki]

Les solutions de En correspondent à la recherche des cycles de longueur qn qui passent par n nombres impairs (la suite qn décrit les moments dans le cycle où on a un nombre impair).
On a pas trouvé de cycles autres que (1,2,1,2...) (dans les entiers positifs), et on a pas non plus montré qu'il n'y en avait pas d'autres.

Si tu trouves une solution autre que celles que t'as données (et de celles où µ = 2, qui normalement devrait être solution), bah t'auras trouvé un nouveau cycle.

[pepper]

Le sujet d'étude est bien connexe à la Syracuse^^
Je ne connais pas cette théorie des cycles.. aurais-tu un lien, stp ?

[Doraki]

http://www.cecm.sfu.ca/organics/papers/lagarias/paper/html/node2.html
il a une page sur "are there non-trivial cycles ?"

[pepper]

Je vais étudier ces argument de Böhm et Sontacchi et théorème de Steiner que je ne connaissais pas.

Pour le moment, j'en suis resté à une attaque par l'arithmétique modulaire pure avec des résultats intéressants pour pouvoir construire des termes initiaux de la Syracuse qui produisent des comportements attendus.

Mais la preuve d'unicité du cycle, c'est chaud chaud chaud...

Merci pour ton précieux concours.