Suite preponderante

[relie83]

bonjour à tous et à toutes.

Je sollicites votre savoir et vos conaissances des mathématiques pour m'aider sur les suites prépondérantes (devant lesquelles mon savoir est bien négligeable)

Voila ,je n'arrives pas à finir la démo de ce qui suit:

pour |a|<1 et b>0 : 1/n!<
J'ai bien remarquer qu'il fallait faire un passage du type :

Un< 1/Vn<<1/Un

mais quand je l'applique à n^b<
1/n!<<1/a^n<<1/n^b (1)

Est-ce que j'ai le droit de poser c=1/a car alors |c|<1 et de réécrire l'égalité(1) pour tout c tel que |c|<1?




Un deuxième point qui me chagrine si vous avez encore quelques minutes à m'accorder et la limite en +infini de la suite

Un=((e^n)*n!)/((n^n)*(n^1/2))

ma calculette me dit que c'est racine carrée de 2pi chose qui me parait vrai puisque je cherche à démontrer la formule de stirling en passant par des suites équivalentes mais moi je trouve 0,ce qui n'est pas tout à fait pareil.


En tout cas ,merci pout tout ,et déjà merci de m'avoir lu,

relie83

[Ben314]

Salut,
ça serait sympa de rappeler aux ignares (dont moi...) ce que signifie "prépondérantes"...

Vu la suite, je suppute que Un est prépondérente sur Vn lorsque Un/Vn tend vers l'infini (i.e. que vn est "petit o" de un).

Si oui, alors :
Montrer que 1/n!2 dés que n>2/a donc (réccurence) Un>2^n.cst pour n>2/a.

Montrer que a^n1 (rappel, la fonction x->1/x est décroissante sur ]0,+oo[...)


Enfin, la formule de Stirling dit qu'un équivalent en +oo de n! est
donc
Conclusion : La machine 1 , relie83 0 ; deuxième manche...

[relie83]

Merci pour ton aide Ben 314.

Pour ce qui est des suites prépomdérantes,je plaides coupable ainsi que pour ca qui est de diviser par zero :belle boulette!.Nul ne fait aucune erreur en mathématiques puisqu'à priori ,ta méthode pour trouver la limite qui conduira à démontrer la formule de stirling consiste à utiliser la formule de stirling(à mon époque, je sais plus en quelle classe on voyait que l'on n'utilisait pas ce qu'on voulait démontrer comme déjà vrai dans la démonstration...) .

Sinon merci du temps que tu as pris pour me répondre même si cela ne me servira à rien puisque je voulais utiliser la relation Un< 1/Vn<<1/Un pour démontrer |a|<1 et b>0 : 1/n!<
Mais merci quand même et bonne journée. :we:

[Ben314]

Si tu veut mon avis, le "théorème" "Un<<Vn ssi 1/Vn<<Un", ça fait un peu concon du fait que, par définition, les deux disent exactement la même chose...

Ensuite, en ce qui concerne la limite de , ben j'utilise la formule de stirling pour trouver combien ça fait vu que tu ne donne aucune info sur ce que tu as déjà montré et qui doit te conduire à ça...
Le plus souvent, on utilise une approximation de ln(n!) par l'intégrale de 1/2 à n+1/2 de ln(t) pour montrer que la limite existe, puis les intégrales de 0 à Pi de sin(t)^n pour déterminer la limite...


Bonne journée à toi aussi. :we:

[relie83]

Salut à toi Ben 314,

Quand je marque "je cherche à démontrer la formule de stirling",je pensais que c'était clair que je ne voulais pas l'utiliser,mais bon...

Sinon,c'est vrai que ca fait rediff l'histoire de la formule avec les inverses,mais ce que prof veut ,prof l'a;-)

Bonne journée les matheux