Nombres premiers

[Ericovitchi]

il y a la méthode bourrin par les congruences.
Dans ton tableur tu mets un colonne n allant de 0 à 6
Puis tu calcules pour ces 7 nombres que vaut le reste de la division par 7 de n;)-n (Formule Excel =MOD(A1^7-A1;7) ) et tu trouves zéro partout.

[Ben314]

Si tu veut utiliser la factorisation donné par Ericovitchi :
n^7-n = (n-1) n (n+1) (n²-n+1) (n²+n+1)
Il te faut regarder les différents restes de la division de n par 7 :
Si n=7k alors n=7k est divisible par 7 donc n^7-n aussi
Si n=7k+1 alors n-1=7k est divisible par 7 donc n^7-n aussi
Si n=7k+2 alors n²+n+1=(49k²+28k+4)+(7k+2)+1=7(7k²+5k+1) est divisible par 7 donc n^7-n aussi
Si n=7k+3 alors n²-n+1=(49k²+42k+9)-(7k+3)+1=7(7k²+5k+1) est divisible par 7 donc n^7-n aussi
etc...

Par contre,
n pair n'implique pas n²+n+1 divisible par 7 (essaye n=6)
n impair n'implique pas n²-n+1 divisible par 7 (essaye n=9)

Sinon, si tu connait le binôme de Newton, il y avait aussi moyen de faire la preuve par récurrence...

[Patrickkk]

Ok, merci beaucoup, en effet je trouvais étrange que n²+n+1 soit divisible par 7 si n est pair...

Bon, j'ai encore un problème:
Comment je peux démontrer que si on a p un nombre premier, p|a+b et p|ab, on a p|a².

[Ericovitchi]

Si p|a+b -> p|(a+b)a=a²+ab

p|a²+ab et p|ab donc p| leur différence donc a²

[Patrickkk]

Ok, c'était assez simple en fait...
Après j'ai montré que p|a, a partir de p|a².
Mais j'ai un autre problème :
Comment montrer que si a et b sont premiers entre eux, alors a+b et ab sont premiers entre eux?
Encore une fois merci pour votre aide.

[Ben314]

Même méthode :
Si un nombre premier p divise à la fois a+b et ab alors, comme il divise ab, c'est qu'il divise soit a soit b.
S'il divise a, alors comme il divise a+b, c'est qu'il divise aussi b.
S'il divise b, alors comme il divise a+b, c'est qu'il divise aussi a.
Conclusion : p divise forcément a et b.

[Ericovitchi]

si un diviseur différent de 1 divisait a+b et ab, il diviserait a²+ab et ab donc leur différence a² et donc a.
par symétrie il diviserait aussi b et donc a et b aurait un diviseur différent de 1 ce qui est contraire au fait que a et b sont premier entre eux.

EDIT : ha je n'ai pas été assez rapide

[Patrickkk]

Ok, merci beaucoup pour vos réponses !