Nombres premiers

[Elnorth]

Bonjour,
Je rencontre un problème avec deux exercices sur les nombres premiers :

- Soit a et b des entiers naturels. Si a²-b² est un nombre premier, alors a et b sont deux entiers consécutifs.

J'ai tenté de faire l'inverse, mais ça ne marche pas. Je remplace a par n et b par n+1, je développe a²-b² et je trouve (non pas 1) mais : -2n-1.

- Démontrer que la somme de deux nombres premiers consécutifs supérieurs à deux admet au moins une décomposition de trois facteurs (différents de 1) non nécessairement distincts. Par exemple : 7 + 11 = 2 * 3 * 3, 23 + 29 = 52 = 2*3*13

Je n'ai rien compris de la technique à employer. Je suppose qu'il s'agit de la propriété du cours qui dit que n = p1^a1 * p2 ^ a2 * p3 ^a3 ... pn ^ an

Merci d'avance.

[Galt]

Le 1 : c'est assez facile, car . Si est un nombre premier, un des facteurs est égal à 1, et c'est forcément a-b, ce qui donne bien que a et b sont consécutifs.
On ne peut pas le faire dans l'autre sens, car par exemple n'est pas premier.
Pour ta deuxième question : à part 2, les nombres premiers sont tous impairs. La somme de deux nombres premiers différents de 2 est donc paire, et on a déjà le facteur 2. On a donc et cette égalité peut s'écrire , donc n est compris entre p et q. Ce n'est pas possible que n soit premier puisqu'on a supposé que p et q sont des nombres premiers consécutifs (et donc il n'y a pas de nombre premier entre p et q). Ainsi n n'est pas premier, il a donc au moins deux facteurs, et donc p+q en a bien au moins 3 (les 2 facteurs de n et le 2)

[Elnorth]

Je suis vraiment trop bête ...
ça va en faire rire plus d'un mais pour la première question, j'ai planché deux heures ...

Merci Galt

[Chimerade]

- Soit a et b des entiers naturels. Si a²-b² est un nombre premier, alors a et b sont deux entiers consécutifs.

J'ai tenté de faire l'inverse, mais ça ne marche pas. Je remplace a par n et b par n+1, je développe a²-b² et je trouve (non pas 1) mais : -2n-1.

Tu as tenté de faire "l'inverse" ?
[INDENT]Premièrement, ça n'aurait servi à rien pour ton problème, car si A entraîne B, B n'entraîne pas nécessairement A. Donc même si tu avais pu montrer que "si a et b sont deux entiers consécutifs alors (a²-b²) est premier", cela n'aurait pas prouvé que "si a²-b² est premier alors a et b sont deux entiers consécutifs".

Deuxièmement, même si tu avais pu montrer que a²-b²=1 (tu avais l'air bien déçu de ne pas trouver 1 !) en prenant deux entiers consécutifs, je ne vois pas le rapport avec le fait de montrer que a²-b² serait premier.[/INDENT]
En fait, c'est tout simple : a²-b²=(a+b)*(a-b). Si donc a²-b² est premier, ses seuls diviseurs sont lui-même et l'unité, donc a-b=1, a est donc l'entier qui suit b !

- Démontrer que la somme de deux nombres premiers consécutifs supérieurs à deux admet au moins une décomposition de trois facteurs (différents de 1) non nécessairement distincts. Par exemple : 7 + 11 = 2 * 3 * 3, 23 + 29 = 52 = 2*3*13

Celui-ci est un peu plus subtil, sans plus...
Comme les nombres premiers supérieurs à 2 sont impairs, il est clair que la somme de 2 d'entre eux est paire. Donc l'un des facteurs est 2. Et montrer qu'on peut décomposer cette somme en produit de trois facteurs supérieurs à 1, c'est montrer qu'on peut décomposer la demi-somme en produits de deux facteurs supérieurs à 1. Or la demi-somme se trouve entre les deux nombres. Comme les deux nombres premiers en question sont "consécutifs", la demi-somme, qui se trouve entre les deux ne peut pas être un nombre premier, elle est donc décomposable en un produit de deux facteurs supérieurs à 1.
CQFD

[Chimerade]

Bizarre, bizarre ! J'ai bien cru que personne n'avait répondu, j'ai dû mal regarder... J'arrive comme les carabiniers. Désolé Galt !