Applications de R vers R et developpements limités

[cdou]

bonjour tout le monde j'ai un petit problème avec un exo voici l'énoncé:
soit l'application f(x)= x / (exp(x)-1)
->en utilisant la convexité de la fonction exponentielle,etudier le signe de exp(x)-x-1 pour x réel .etudier alors le signe de exp(2x)-2*x*exp(x)-1



j'ai essayer d utiliser l'inégalité de convexité mais cela n'aboutit à rien...merci de votre aide!

[barbu23]

est convexe veut dire que
calcul d'abord ! :happy3:

[cdou]

je trouve que f''=exp(x) mais je vois pas comment je peux trouver le signe de exp(x)-x-1

[Ben314]

Je ne sais pas ce que tu appelle "l'inégalité de convexité" :
c'est surtout le "l" apostrophe que je comprend pas trop : pour moi la convexité, ç'est équivalent à tout plein d'inégalités :
Le segment reliant deux point de la courbe est au dessus de la courbe, mais le reste de la droite est en dessous de la courbe ; les tangentes (si elles existent) sont sous la courbe ; ...
Par exemple, comme la tangente en 0 de x->exp(x) a pour équation y=x+1, la convexité de la fonction exponentielle implique que exp(x)>=x+1 pour tout x réel (la tangente est sous la courbe)

Bon, aprés si on connait pas LES inégalités que donnent la convexité, on peut les (re)démontrer où, plus bètement faire un simple tableau de variation de la fonction exp(x)-x-1 (en dérivant 2 fois) pour montrer le résultat.

[cdou]

et on me dit aprés etudier alors exp(2*x)-2*x*exp(x)-1 je calcule là aussi la dérivé mais je trouve rien

[Ben314]

Tu as déjà montré que pour tout x réel.
Si alors et ...