Espace vectoriel

[dream22]

Bonjour,
j'essaye de faire un exercice depuis plusieurs jours mais je bloque.
Voici l'énoncé:

E est un espace vectoriel de dimension p.
Montrer que deux sous espace vectoriel de E de même dimension ont toujours un supplémentaire en commun.

et voici ce que j'ai fait:

soit E un ev de dimension p et soient F et G deux sev de même dimension q
on pose n=p-q
utilisons un raisonnement par récurrence:

pour n=0, dimF = dimE supplémentaire en commun H engendré par vecteur nul

HR: pour tout F et G de dimension p-n, il existe H supplémentaire de F et G.
soit x appartenant à E- (F inter G) (je n'arrive pas à justifier pk F inter G est différent de E)

on pose F'= F Vect(x)
G'= G Vect(x)
dim F'= dim F+ dim Vect(x)= p-n
dim G'= dim G+ dim Vect(x)= p-n
donc il existe H' supplémentaire de F' et G' ( d'après HR)
et là je bloque je ne sais plus quoi faire.

Merci pour votre aide

[Nightmare]

Salut !

Ok, tu fais une récurrence sur la codimension, ce n'est pas une mauvaise idée.

Tu as donc prouvé que, et , de codimension n, ont alors, par hypothèse de récurrence, un supplémentaire commun H'.

Il ne te reste plus qu'à montrer que est un supplémentaire commun à F et G :happy3:

[Nightmare]

Il n'est pas inintéressant, pour voir si on est à l'aise avec l'algèbre linéaire, de résoudre cet exercice sans utiliser la récurrence, en essayant de "construire" ce supplémentaire.

[dream22]

oui j'ai essayé de montrer que H' était un supplémentaire commun à F et G mais je n'y arrive pas... Est-ce que je pourrais avoir une piste? Merci

[Ben314]

Salut,
Si tu veut une approche (peut-être) différente, je te propose celle ci :
1) On peut supposer sans perte de généralité que (pourquoi ?)
2) Si , qu'une base de est et qu'une base de est alors le s.e.v. engendré par est un suplémentaire commun à et à (pourquoi ?)

Edit, on peut aussi "oublier" le 1) et considérer une base de E telle que deux parties de cette base forment des bases de F et de G...