Probabilités

[BENYAHIA]

Bonsoir

Deux émetteurs envoient des messages à travers des éclats de signaux radio à une antenne. Au cours de chaque intervalle de temps chaque émetteur envoie un message avec une probabilité de 1 / 2. Les transmissions simultanées entraînent la perte des messages. Soit X le nombre d'intervalles de temps jusqu'à ce que le premier message soit bien reçu.

(a) Décrivez l'espace sous-jacent échantillon S de cette expérience aléatoire et spécifier les probabilités de ses événements élémentaires.

(b) Montrer l'application de S à SX, la gamme de X.
(c) Trouver les probabilités pour les différentes valeurs de X.
(d) Quelle est la valeur conditionnelle prévue de X sachant que le message ne passe pas dans la fente la première fois. Montrer que E = [X | X> 1] = E [X] +1.
(e) Trouver la valeur conditionnelle espérance de X étant donné qu'un message passe dans la fente la première fois.
(f) Retrouver E [X] en utilisant les résultats des parties a et b.

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Voici la version d'originale

Two transmitters send messages through bursts of radio signals to an antenna. During each time slot each transmitter sends a message with probability 1/2. Simultaneous transmissions result in loss of the messages. Let X be the number of time slots until the first message gets through.

(a) Describe the underlying sample space S of this random experiment and specify the probabilities of its elementary events.

(b) Show the mapping from S to Sx, the range of X.

(c) Find the probabilities for the various values of X.

(d) Find the conditional expected value of X given that no message gets through in the first time slot. Show that E = [X | X > 1] = E[X] + 1.

(e) Find the conditional expected value of X given that a message gets through in the first time slot.

(f) Find E[X] by using the results of parts a and b.