Exercice incompris pour un DM de maths

[audrey29]

bonjour pour la rentrée j'ai un DM a rendre et pour le premier exercice je rencontre quelques difficultés pourriez- vous m'aider svp?

exercice 1:

On admet le résultat suivant:
Lorsqu'une fonction f est dérivable en a et définie sur un intervalle I ouvert contenant a, alors lorsque x est proche de a,f(x) est proche de f'(a)(x-a)+f(a).
Ceci s'interprète graphiquement: la courbe de f au voisinage du point A d'abscisse a est proche de la tangente en A.
On dit alors que f'(a)(x-a)+f(a) est une approximation affine de f(x) au voisinage de a.

1. On considère la fonction f(x) (1+x)²
a) Prouver que f est définie et dérivable au voisinage de zéro.
b)Exprimer sa dérivée f' puis calculer f'(0)
c)Démontrer que: f(x) =(environ) 2x+1 lorsque x est proche de 0.
d) en déduire sans calculatrice une valeur approchée de : 1,007².

2. Déterminer au moyen de la méthode précédente une approximation affine au voisinage de 2 de la fonction f(x)= 1/x².

En déduire sans calculatrice une valeur approchée des nombres suivants:

1/1,99² & 1/2,0008²

Merci de m'aider s'il vous plait, parce que je n'y arrive pas du tout à le faire .
Audrey

[Hiphigenie]

[font=Calibri]Bonjour,[/font]

[font=Calibri]f(x) = (1 + x)²[/font]


[font=Calibri]1) a) f(x) = 1 + 2x + x². [/font]

[font=Calibri]La fonction f est une fonction polynôme.[/font]

[font=Calibri]Une fonction polynôme étant définie et dérivable sur R, elle est définie et dérivable au voisinage de zéro.[/font]



[font=Calibri]b) f’(x) = 2(x + 1)[/font]

[font=Calibri]f’(0) = 2(0 + 1) = 2[/font]

[font=Calibri]c) f(x) f’(0)(x – 0) + f(0) en sachant que f’(0) = 2 (voir b)) et f(0) = (1 + 0)² = 1[/font]

[font=Calibri]Donc f(x) 2(x – 0) + 1[/font]

[font=Calibri]f(x) 2x + 1.[/font]



[font=Calibri]d) 1,007² = (1 + 0,007)² = f(0,007)[/font]

[font=Calibri]En utilisant le c), on a : f(0,007) 2.0,007 + 1[/font]
[font=Calibri]f(0,007) 1,014.[/font]

[font=Calibri]Donc 1,007² 1,014[/font]



[font=Calibri]Tu essaies le 2) ?[/font]