Polynome et espace vectoriel

[chikkybum]

Bonjour!

J'essaie de résoudre un probleme et j'aurais besoin d'aide.
Voici l'énoncé: Soit E (respectivement En) l'espace vectoriel des polynomes P de R[X] (respectivement Rn[X]) tels que l'intégrale de 0 à 1 de P(t)dt soit nulle.
Soit d l'application de E dans R[X] définie par
d(P)=P(X+1) - P(X)

Soit dn la restriction de d à En comme espace de départ.

1)a) Montrer que d est linéaire et calculer ker d

Pour la linéarité je n'ai pas de probleme mais pour le ker je ne suis pas sur.

On sait que P appartient au ker ssi d(x)=0 donc P(x+1)=P(x)
Il s'agit donc uniquement des polynomes constants? Ou alors il y a autre chose?

Merci d'avance

[Nightmare]

Salut !

Eh bien je ne sais pas, en vois-tu d'autre? Sinon comment prouver que les polynômes constants sont les seuls ?

[chikkybum]

Honnêtement non je n'en vois pas d'autre...
Je dois faire un raisonnement par l'absurde pour le montrer?

[Nightmare]

Par exemple. As-tu une idée pour le montrer par l'absurde?

[chikkybum]

Peut etre en utilisant la décomposition..
P(X)=an*X^n+...+a1*X+a0
P(X+1)= an*(X+1)^n+...+a1*(X+1)+a0

avec au moins un des ai non nuls pour i différent de 0, par exemple a1

Comme on suppose que P convient, on peut poser l'égalité et on tombe sur
X+1=X, d'où une contradiction.

Mais je ne suis pas vraiment certain de la validité du raisonnement...

[Nightmare]

Comment obtiens-tu X+1=X ? C'est assez flou...

Un raisonnement très simple consiste à passer dans les complexes, en disant que si P n'était pas constant, alors d'après le théorème de D'Alembert-Gauss ...