Valeurs propres... réelles ou complexes ?

[cataglyphis]

Bonjour,
j'ai trouvé une démonstration sur mon problème, mais je pense qu'il y a potentiellement un détail qui m'échappe, les regards critiques sont bienvenus...
voici le problème:
il s'agit de montrer que la matrice M a des valeurs propres dont la partie réelle est strictement postive,
avec
où

voici ma proposition de solution :
soit h valeur propre, il existe X non nul tel que M X = h X

soit
on suppose xi >0 (sinon on prend -X qui est aussi vecteur propre)

alors, pour la ligne i:


or,

donc
et comme ei et xi sont strictement positifs, on en déduit :

et ma question... tout va bien si h et X sont réels, mais ai-je le droit de proposer cette démonstration dans le cas où je ne sais pas si les valeurs propres sont réelles à priori ?
merci pour votre aide

[Nightmare]

Salut,

on ne te demande pas de montrer que les valeurs propres sont positives (ce qui n'aurait pas de sens pour des valeurs propres complexes) mais qu'elles ont une partie réelle positive ! Du coup ton raisonnement est bon en prenant h la partie réelle d'une de tes valeurs propre quelconque.

[cataglyphis]

salut,
merci pour ta réponse !
j'ai un doute :
est-ce que j'ai le droit d'écrire directement M X = h X si h est la partie relle d'une valeur propre ?
ou puis-je le justifier par le fait que si h est complexe, son conjugué est aussi valeur propre, et que les vecteurs propres sont aussi conjugués, du coup si on fait la somme on aurait 2 M Re[X] = 2 Re[h] Re[X]
merci (pour la patience)

[Nightmare]

salut,
merci pour ta réponse !
j'ai un doute :
est-ce que j'ai le droit d'écrire directement M X = h X si h est la partie relle d'une valeur propre ?

Non, mais tu peux écrire les équations que ça engendre et alors prendre la partie réelle de chaque membre !

ou puis-je le justifier par le fait que si h est complexe, son conjugué est aussi valeur propre

Ce résultat est malheureusement faux!

[cataglyphis]

bonsoir,
si je prend la partie réelle de chaque membre,
j'ai Re[h*xi]=Re[h]*Re[xi] - Im[h]*Im[xi]
jcomment on peut s'affranchir de - Im[h]*Im[xi] pour la suite ?

[cataglyphis]

Bonjour,
je vois vraiment pas comment traiter mes equations en complexe,
du coup j'ai essayé de montrer que mes valeurs propres sont réelles, mais là aussi je tourne méchamment en rond !
quelqu'un a une piste ?
merci