Partie localement finie

[Aspx]

Bonjour,

Je suis sur un exercice d'application du théorème des zéros isolés où je dois déterminer une fonction que l'on sait être analytique.

Plus précisément cette fonction et vérifie

pour

On voit donc qu'elle coïncide avec une fonction analytique connue i.e

En posant la fonction différence, qui est analytique on sait que l'ensemble de ses zéros contient

Etant donné que l'on veut montrer que la fonction différence est nulle, il suffit de montrer, par le principe des zéros isolés, que l'ensemble des zéros de cette fonction n'est pas une partie localement finie de .

C'est là où je bloque, j'imagine que la conclusion vient du fait qu'elle contient mais je vois mal comment en déduire qu'elle n'est pas localement finie car déjà est isolé (pas de contradiction jusque là) et ouvert (et un ensemble fermé peut très bien contenir un ouvert)...

Merci d'avance !

[nonam]

Bonjour,

tu peux plutôt essayer de comparer g= x-> f(1/x) (sur C*) à une fonction analytique connue, mettons h.
Si tu y parviens, tu auras que g coïncide avec h sur une partie contenant 0 comme point d'accumulation ({1/n ; n€ N\{0,1}}), et plus seulement sur un partie discrète, et tu pourras donc appliquer le théorème des zéros isolés.

On voit donc qu'elle coïncide avec une fonction analytique connue i.e

Attention par contre, n'est définie que sur la boule unité ouverte. (donc f et ne coïcident qu'en zéro, à priori !)

[ffpower]

A priori, exo impossible poser tel quel, on peut trouver des fonctions holomorphes "bizarres" vérifiant ton énoncé..
Sinon, N-{1} n est pas ouvert..Il est fermé

[ffpower]

Nonam : ton argument ne marche pas car le point d accumulation (=0 ) n est pas dans le domaine de définition de f

[nonam]

ouep en effet. belle bourde !

[Aspx]

Erreur de ma part, 0 est bien dans le domaine de def de f (f(0)=1). Et autre chose que j'ai oublié de l'énoncé,

est bien fermé dans c'était évident toutes mes excuses ! :marteau:

Pour rédiger comme ça on pose
qui est définie sur (en vertu des "nouvelles" hypothèses)

La différence entre g et la fonction analytique précédemment citée s'annule sur où 0 est un point d'accumulation, donc l'ensemble des zéros de cette différence (qui est analytique) ne peut être isolé et donc d'après le principe des zéros isolés la différence est nulle i.e les deux fonctions sont égales.

Merci !

[ffpower]

Attention. comme je disait on ne peut appliquer PZI directement car à priori f(1/z) n est pas holomorphe au voisinage de 0. Il faut que tu justifie avant que, en fait, elle l est..

[Aspx]

L'énoncé dit qu'elle est analytique, ça suffit pour appliquer PZI si je me trompe pas. (de toute façon ça <=> à holomorphe)

Edit: En effet c'est f qui est analytique et l'analycité de g = z -> f(1/z) doit être justifiée je suis d'accord !

[Aspx]

Pas si simple que ça... voire même impossible à montrer il me semble. Montrer que g est holomorphe en 0 reviendrait à montrer que a une limite quand z tend vers 0 ce qui me semble dur à montrer.

De plus il y a un problème en 1, où f n'est pas définie de toute façon. Au final on applique le PZI sur l'ouvert connexe à la fonction g qui est analytique sur U. On en déduit donc au final le domaine maximal de f, qui est l'image par la fonction inverse de U c'est à dire et son écriture sur ce domaine :
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Dites moi y'a des erreurs persistantes ! Pas si trivial cet exo :marteau:

[ffpower]

Pour montrer que g est analytique en 0, ca dépend de ou en est ton cours..as tu entendu parlé de singularités éliminables? Si ce n est pas le cas, il faut le faire à la main: regarder h(z)=zg(z), vérifier que h est holomorphe au voisinage de 0, puis regarder alors le développement en série entiere de h en 0 pour en déduire que g est holomorphe..